3.1 Kongruenz von Figuren

Kann man zwei Figuren F und G durch Verschieben, Drehen und Umdrehen deckend
aufeinander legen, so bezeichnet man diese Figuren als deckungsgleich.

Zueinander kongruente Figuren sind form- und größengleich.
Sie stimmen in allen einander entsprechenden Seiten und Winkeln überein.

Fundamentalsätze oder Axiome der Kongruenz:

1.      SSS-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.
2.      SWS-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen.
3.      WSW-Satz bzw. SWW-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in einer Seite und den zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
4.      SsW-Satz: Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen.

Folgerungen der Axiome:

• Streckenübertragung der Strecke :
  Zeichne eine Halbgerade h mit Endpunkt P₂. Ziehe mit dem Zirkel einen Kreis .
  Schnittpunkt von Kreis k und Halbgerade h ergibt den Punkt Q₂ mit .
• Winkelübertragung des Winkels α:
  Ziehe einen Kreis  mit beliebigem Radius r.
  Die Schnittpunkte von k mit den Schenkeln von α seien A₁ und B₁.
  Errichte nun ein zu kongruentes Dreieck  auf der Halbgeraden h
  mit Endpunkt S₂. Aufgrund der Kongruenz gilt: α = ∢ A₁S₁B₁ = ∢ A₂S₂B₂.

3.2 Achsenspiegelung, Achsensymmetrie

Zerlegt eine Gerade eine Figur so in zwei Teile, dass beim Falten längs dieser Gerade beide
Teile genau aufeinander liegen, so heißt sie Symmetrieachse der Figur.
Die Figur nennt man dann achsensymmetrisch.

Suche in diesen Figuren alle Symmetrieachsen und zeichne sie farbig ein.                    [® AB_M7_3,2]

Die Achsenspiegelung ist eine Kongruenzabbildung, deren Originalbild an die Spiegelachse
angrenzt und kongruent auf die andere Seite der Achse mit umgekehrtem Umlaufsinn abgebildet wird.
(Alle Punkte der Spiegelachse sind Fixpunkte)

3.3 Eigenschaften der Achsensymmetrie

1.      Längentreue: Zueinander symmetrische Punkte sind von jedem beliebigen Symmetrie-achsenpunkt gleich weit entfernt Zueinander symmetrische Strecken haben die gleiche Länge. (SSS-Satz)
2.      Winkeltreue: Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß α=∢CBA = ∢A′B′C′. Die Verbindungsstrecke symmetrischer Punkte steht senkrecht auf der Symmetrieachse (SWS-Satz), also ∢CFB = ∢B′F′C′ = 90°.
3.      Geradentreue: Zueinander symmetrische Geraden g und g’ schneiden die Symmetrieachse im selben Punkt und im gleichen Winkel. (Fixpunkt & SWS-Satz) Ist eine Gerade parallel zur Symmetrieachse, so auch die zu ihr symmetrische Gerade. (Kongruenz/ SsW-Satz)
4.      Kreistreue: Zueinander symmetrische Kreise haben dengleichen Radius. (Kongruenz/ SSS-Satz)

Jede Gerade, senkrecht zur Spiegelachse, ist eine Fixgerade.

Jeder Kreis mit Mittelpunkt auf der Spiegelachse ist ein Fixkreis.
Die Verbindungsstrecke von Punkt und Spiegelpunkt wird von der Spiegelachse halbiert.

3.4 Konstruktion achsensymmetrischer Figuren

1.      Grundkonstruktionen:

Konstruktion des Bildpunktes A und B beliebig auf a Kreis um A mit Radius Kreis um B mit Radius  Schnittpunkt der Kreise: P’
Konstruktion der Symmetrieachse Kreis um P mit Radius  Kreis um P’ mit Radius r Schnittpunkte der Kreise: A, B Symmetrieachse: Gerade durch A und B

2.      Anwendungen: (vgl. Cinderella-Konstruktionen)

Mittelsenkrechte                                         Lotgerade_P auf g      Lotgerade P außerhalb

                 

Parallele                                                  Mittelparallele

Winkelhalbierende                                konstruierbare Winkel

3.5 Geometrie am Computer

Cinderella 1.4 (Dynamisches GeometrieSystem):

  

3.6 Punktspiegelung, Punktsymmetrie

Liegt eine Figur nach einer 180°-Drehung um einen Punkt wieder deckungsgleich zur
Ausgangsposition, so nennt man die Figur punktsymmetrisch.
Der Punkt, um den gedreht wurde, heißt Punktsymmetriezentrum.

Die Punktspiegelung ist eine Kongruenzabbildung, die das Originalbild kongruent auf die
andere Seite des Zentrums abbildet, so dass jede Verbindungsstrecke eines Punktes und
seines Bildpunktes durch das Zentrum verläuft.

[® AB_M7_3,6]

3.7 Eigenschaften der Punktspiegelung

1.      Längentreue: Zueinander punktsymmetrische Punkte sind vom Zentrum Z gleich weit entfernt. Zueinander punktsymmetrische Strecken haben gleiche Länge. (SSS-Satz)
2.      Geradentreue: Zueinander punktsymmetrische Geraden sind parallel. Verläuft die Gerade g durch das Zentrum Z, so sind Gerade g und Bildgerade g’identisch. (SsW-Satz)
3.      Kreistreue: Zueinander punktsymmetrische Kreise haben dengleichen Radius. (Kongruenz/ SSS-Satz)
4.      Winkeltreue: Zueinander punktsymmetrische Winkel sind gleich groß. β = ∢CBA = ∢C′B′A′ (SWS-Satz) Der Umlaufsinn bleibt erhalten. (doppelte Achsenspiegelung/ Drehung)
Jede Punktspiegelung kann durch eine Zweifachspiegelung an in Z zueinander senkrechten Achsen oder eine 180°-Drehung um Z ersetzt werden.   Jede Gerade durch Z ist eine Fixgerade. Z ist der einzige Fixpunkt.

3.8 Symmetrische Vierecke

a) punktsymmetrische Vierecke

Spiegelt man ein Dreieck an einer Seitenmitte, so erhält man ein Parallelogramm. Seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel und gleich lang, gegenüberliegende Winkel sind gleich groß und die Diagonalen halbieren sich.
(Eigenschaften der Punktsymmetrie)

b) achsensymmetrische Vierecke

Spiegelt man ein Dreieck an einer Seite, so erhält man ein Drachenviereck. Jeweils zwei benachbarte Seiten sind gleich lang, gegenüberliegende Winkel sind gleich groß und die Diagonalen sind zueinander senkrecht.
(Eigenschaften der Achsensymmetrie)

Sind bei einem Viereck zwei Seiten parallel, so nennt man es Trapez. Haben diese beiden Seiten eine gemeinsame Mittelsenkrechte, so ist es ein gleichschenkliges oder achsensymmetrisches Trapez. Zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich lang, jeweils zwei benachbarte Winkel sind gleich groß und die Diagonalen sind gleich lang.
(Eigenschaften der Achsensymmetrie)

c) punkt- und zweifach achsensymmetrische Vierecke

Betragen bei einem Viereck alle vier Winkel 90°, so nennt man es Rechteck. Es gelten die Eigen-schaften von Parallelogramm und Trapez, und die Mittelsenkrechten der Seiten sind die Symmetrieachsen. Sie stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. ( Eigenschaften der Achsensymmetrie & Punktsymmetrie)

Sind bei einem Viereck alle Seiten gleich lang, so nennt man es Raute. Es gelten die Eigenschaften von Parallelogramm und Drachenviereck, und die Diagonalen sind die Symmetrieachsen. Sie stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich. ( Eigenschaften der Achsensymmetrie & Punktsymmetrie)

d) punkt- und vierfach achsensymmetrische Vierecke

Ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten bzw. eine Raute mit vier 90°-Winkeln heißt Quadrat. Es hat daher vier Symmetrieachsen.

Das Haus der Vierecke:

3.9 Eigenschaften von Vierecken

Ein Viereck ist bereits ein(e)

Trapez, wenn

• zwei Seiten parallel sind.

gleichschenkliges Trapez, wenn

• jeweils zwei benachbarte Winkel gleich groß sind,
• zwei Seiten eine gemeinsame Mittelsenkrechte haben.

Dann sind zwei Seiten parallel, die beiden anderen gleich lang und auch die Diagonalen gleich lang.

rechtwinkliges Trapez, wenn

• zwei benachbarte Winkel 90° betragen.

Drachenviereck, wenn

• jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang sind,
• eine Diagonale von der anderen senkrecht halbiert wird.

Dann sind zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Parallelogramm, wenn

• jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind,
• jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind,
• jeweils zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß sind,
• sich die Diagonalen halbieren.

Dann ist es auch ein Trapez.

Rechteck, wenn

• es sowohl ein achsensymmetrisches Trapez, als auch ein Parallelogramm ist,
• alle vier Winkel 90° betragen,
• die Diagonalen gleich lang sind und sich halbieren,
• jeweils zwei Seiten eine gemeinsame Mittelsenkrechte haben.

Dann sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel,
dann sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Raute, wenn

• es sowohl ein Drache, als auch ein Parallelogramm ist,
• es sowohl ein Drache, als auch ein Trapez ist,
• alle vier Seiten gleich lang sind,
• sich die Diagonalen gegenseitig senkrecht halbieren.

Dann sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel,
dann sind jeweils zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Quadrat, wenn

• es sowohl ein Rechteck, als auch eine Raute ist,
• es sowohl ein Drache, als auch ein gleichschenkliges Trapez ist,
• alle vier Seiten gleich lang sind und ein Winkel 90° beträgt,
• die Diagonalen gleich lang sind und sich senkrecht halbieren,
• jeweils zwei Seiten eine gemeinsame Mittelsenkrechte haben und beide gleich lang sind.

Dann sind jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel.