7.1 Transversalen eines Dreiecks

a) Seitenhalbierende:

Die Strecke von einem Eckpunkt eines Dreiecks, z.B. A, zum Mittelpunkt der ihm gegenüberliegenden Seite, also M_a, heißt Seitenhalbierende, hier s_a.

b) Winkelhalbierende:

Die Halbgerade von einem Eckpunkt eines Dreiecks, z.B. B, die den Winkel bei dem Eckpunkt, also β, halbiert, heißt Winkelhalbierende, hier w_β.

c) Höhe:

Das Lot von einem Eckpunkt, z.B. C, auf die ihm gegenüberliegende Seite, also c, heißt Lot durch C auf c. Die Strecke von C zum Schnittpunkt F_c des Lotes mit c heißt Höhe, hier h_c.

d) Mittelsenkrechte:

Die Gerade, deren Punkte von den Endpunkten einer Dreieckseite, z.B. b, gleich weit entfernt liegen, heißt Mittelsenkrechte, hier m_b.

e) Schwerpunkt-Satz:

Die drei Seitenhalbierenden, auch Schwerlinien genannt, treffen in sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks.

f) Inkreissatz:

Die drei Winkelhalbierenden treffen sich in einem Punkt I. Er ist der Mittelpunkt des Inkreises, der alle drei Seiten in einem Punkt berührt.

g) Höhenschnittpunkt-Satz:

Die drei Höhen eines Dreiecks treffen sich in einem Punkt H. Er kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.

h) Umkreissatz:

Die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks treffen sich in einem Punkt U. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises, auf dem alle drei Eckpunkte liegen. Er kann auch außerhalb des Dreiecks liegen.

Im Allgemeinen fallen die vier Schnittpunkte der Transversalen, Schwerpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt, nicht zusammen.

i) Beweise

• Umkreis : Sei U der Schnittpunkt von m_a und m_c. Da m_c Mittelsenkrechte von gilt: . Analog gilt , also muss gelten und somit liegt U auch auf m_b. Wegen ist U Mittelpunkt des Umkreises.
• Höhenschnittpunkt :
  Durch jede Ecke des Dreiecks ∆ABC zeichnet man eine Parallele zur Gegenseite; sie bestimmen das Dreieck ∆A’B’C’. Da || und || sind ∆A’CB und ∆ABC punktsymmetrisch zu M_[CB]. Analog bei ∆B’AC und ∆C’BA. Damit halbiert h_c die Seite senkrecht und ist damit zugleich m_A’B’. Ebenso gilt: h_a = m_B’C’ und h_b = m_A’C’. Da sich die Mittelsenkrechten in einem Punkt treffen, gilt dies für die Höhen ebenfalls.

Mithilfe des Höhenschnittpunkt-Satzes lässt sich eine Gerade g durch den Schnittpunkt S zweier Geraden a und b außerhalb des Zeichenblattes und
einen Punkt P legen:

1. Lot von P auf b schneidet a in A
2. Lot von P auf a schneidet b in B
3. Verbindung von A und B
4. g ist Lot von P auf
• Inkreis : Sei I der Schnittpunkt von w_α und w_γ. Da w_γ Symmetrieachse von a und b ist, gilt: . Analog gilt , also muss gelten und somit liegt I auch auf w_β. Wegen ist I Mittelpunkt des Inkreises.

Eine Folgerung aus dem Inkreissatz ist der Ankreissatz:

Je zwei Außenwinkelhalbierende treffen sich mit der Innenwinkelhalbierenden des dritten Winkels in einem Punkt. Dieser Schnittpunkt ist Mittelpunkt eines Ankreises des Dreiecks.

Der Beweis erfolgt ähnlich zum Inkreissatz.

• Schwerpunkt :

Des weiteren gilt: Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende vom Eckpunkt aus im Verhältnis 2 : 1.

7.2 Achsensymmetrisches Dreieck

Besitzt ein Dreieck eine Symmetrieachse, so nennt man es ein Achsensymmetrisches Dreieck.

Dabei muss ein Eckpunkt auf der Symmetrieachse liegen, die anderen beiden Eckpunkte müssen symmetrisch zur Symmetrieachse liegen.

Ein solches Dreieck heißt auch gleichschenklig.

Folgerungen aus den Eigenschaften der Achsenspiegelung:

• , Längentreue symmetrischer Strecken
• , denn
• , denn C liegt auf m_c
• , denn ∢ACM = ∢MCB
• , Winkeltreue symmetrischer Winkel

achsensymmetrisch <=> <=>

Im Dreieck ABC gelte h_c = w_γ.

w_γ halbiert den Winkel γ. Aufgrund der Höheneigenschaft sind die Dreiecke ∆AMC und ∆MBC rechtwinklig. Aufgrund der Innenwinkelsummen gilt α = β. Nach dem WSW-Satz folgt ∆AMC ≅ ∆MBC. Damit ist h_c die Spiegelachse, also m_c = h_c.

Somit folgt: s_c = m_c = h_c = w_γ.

Bezeichnungen:

• Basis: Strecke c der beiden symmetrischen Punkte
• Basiswinkel: die zueinander symmetrischen Winkel a, b
• Schenkel: die zueinander symmetrischen Strecken a, b
• Spitze: Punkt C auf der Symmetrieachse

7.3 Gleichseitiges Dreieck

Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig.

Es sind dann alle drei Winkel gleich groß.

Im gleichseitigen Dreieck gilt a = b = c.
Es ist damit gleichschenklig bzgl. , also α = β. Es gilt damit: s_c = m_c = h_c = w_γ.
Es ist auch gleichschenklig bzgl. , also β = γ. Es folgt: s_a = m_a = h_a = w_α. Analog: s_b = m_b = h_b = w_β.
Mit der Innenwinkelsumme ergibt sich: α = β = γ = 60°.

7.4 Rechtwinkliges Dreieck, Satz von Thales

a) Definition

Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt.

Als Katheten bezeichnet man die Seiten, die dem rechten Winkel anliegen.

Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn ein Winkel 90° beträgt; die anderen beiden Winkel betragen dann zusammen auch 90°.

b) Thaleskreis

Der Kreis mit dem Durchmesser , dessen Mittelpunkt also die Mitte von ist und dessen Radiuslänge beträgt, heißt Thaleskreis über der Strecke .

Satz von Thales:

In jedem rechtwinkligen Dreieck ∆ABC mit γ = 90° liegt der Punkt C auf dem Thaleskreis über .

Umkehrung:

Alle Punkte C des Thaleskreises über bilden mit den Punkten A und B ein rechtwinkliges Dreieck, wobei C der Scheitel des rechten Winkels ist.

Beweis des Satzes von Thales:

Voraussetzung: γ = 90°

Wegen
gilt: .

Zerlegt man γ in γ₁ = α und γ₂ = β, so entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke ∆AMC und ∆MBC mit

.

Damit ist . q.e.d.

7.5 Kreis und Gerade

Eine Sekante ist eine Gerade, die einen Kreis in zwei Punkten schneidet.
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis an einem Punkt berührt.
Eine Passante hat keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis.

Satz:

Eine Tangente verläuft im Berührpunkt stets senkrecht zum Radius.

Beweis:

Eine Gerade g schneide einen Kreis k(M;r) im Punkt B unter α < 90° (Winkel zwischen g und ).

Dann gibt es ein Dreieck ∆BMT mit ∢BTM = 90° und T∈g.

Da die Hypotenuse ist, folgt . Somit liegt T innerhalb des Kreises und es existiert ein weiterer Schnittpunkt von Kreis und Gerade, also ist g eine Sekante.

Für α > 90° gilt für den Nebenwinkel ε < 90°. Analog ist somit g ebenfalls eine Sekante.

Also muss für eine Tangente gelten: α = 90°. q.e.d.