8.1 Parallelprojektion

Die Parallelprojektion ist eine Darstellung aus dem Bereich des technischen Zeichnens. Die Hauptansicht zeigt das Bild des Körpers, das am meisten über ihn aussagt, die Seitenansicht zeigt die Betrachtung von rechts und in der Draufsicht ist die Sicht von oben dargestellt. In der Konstruktion werden die einzelnen Längen in die andere Sicht direkt übertragen, zwischen Drauf- und Seitenansicht unter 45°. Bei symmetrischen Körpern werden zusätzlich die Symmetrieachsen mit punktierten Linien angedeutet.

8.2 Schrägbild-Darstellung

x-Achse und z-Achse stehen senkrecht aufeinander. Die Tiefe wird entlang der y-Achse unter einem Winkel von 45° um verkürzt angetragen, siehe Abbildung:

Die Körper lassen sich recht einfach und schnell darstellen, vor allem bei Betrachtung einer Außenfläche.

8.3 realgetreue 3D-Darstellungen

a) ISO-Ansicht

ISO steht für International Standards Organization (Genf, Schweiz). Die Organisation legt die internationalen Normen für alle Bereiche mit Ausnahme des Elektronikbereichs fest.

Definition: alle drei Basisvektoren sind gleich lang. Alle Achsen bilden einen Winkel von 60° zueinander, siehe Abbildung:
Diese Darstellung ist eine recht einfache Konstruktionsvorschrift mit einer guten räumlichen (Groß-)Übersicht.

Rundkörper sind in dieser Darstellung am leichtesten zu zeichnen. Quader lassen sich mit dieser Methode sehr einfach konstruktiv darstellen.
Für die Darstellung von mehreren Körpern, die zueinander in Bezug stehen, ist dieses System am besten geeignet:

b) 15°-30°-Raumansicht

Die x-Achse nimmt zur Horizontalen einen Winkel von ein, die y-Achse einen Winkel von .

Die Einheitslängen ergeben sich zu , und mit .

Die 15°-30°-Raumansicht kann für realgetreue Darstellungen aller geraden Körper verwendet werden. Selbst Oktaeder oder Fünfeckprismen sind hier gut zu erkennen. Sie ist besonders empfehlenswert für die Veranschaulichung von Raumschnitten und Darstellung von dreidimensionaler Vektorgeometrie.

c) 15-30-Tafelansicht

Wir definieren:
, , ^evtl.

Damit erhalten wir für die Winkel gegen die Horizontale:
, ,

Die 15-30-Tafelansicht kann als Abbildung aller geraden Körper verwendet werden. Sie ist an die 15°-30°-Raumansicht angelehnt und vorwiegend für Konstruktionen in der Schule gedacht, bei denen alle drei Dimensionen vonnöten sind.

CH₄-Molekül:

8.4 Gerade und Ebene, Winkel im Raum

• Haben zwei nicht-parallele Geraden g₁ und g₂ keinen gemeinsamen Schnittpunkt, so heißen sie windschief.
• Eine Gerade g liegt in einer Ebene E, wenn jeder Punkt P der Geraden auch ein Punkt der Ebene ist.
• Eine Gerade g ist senkrecht zu einer Ebene E, wenn sie mit zwei beliebigen Geraden h₁ und h₂ der Ebene E im Schnittpunkt F von g und E einen rechten Winkel einschließt. Der Abstand eines Punktes P von einer Ebene E ist die Länge seiner Lotstrecke [PF].
• Eine Gerade g ist parallel zu einer Ebene E, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt, also stets gleichen Abstand haben.
• Fällt man von allen Punkten einer zur Ebene E nicht-senkrechten Geraden g jeweils ein Lot auf diese Ebene, so bilden die Schnittpunkte der Lote und der Ebene eine Gerade; sie heißt Projektion p der Geraden g auf die Ebene. Der Neigungswinkel ε = ∢ (g , E) der Geraden g ist der Winkel ∢ (g , p) zwischen Gerade und ihrer Projektion.
• Zwei Ebenen E₁ und E₂ heißen identisch, wenn jeder Punkt der Ebene E₁ auch ein Punkt der Ebene E₂ ist und umgekehrt. Sie heißen parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.
• Schneiden sich zwei Ebenen E₁ und E ₂, so bilden die Schnittpunkte die Schnittgerade s. Der Neigungswinkel α = ∢ (E₁ , E₂) der Ebenen ist der Winkel ∢ (g₁ , g₂) zwischen den zwei sich schneidenden und zu s senkrechten Geraden g₁ und g₂, wobeig₁ in E₁ liegt und g ₂ in E₂.

8.5 Volumen und Oberfläche von Prismen

Ein Prisma ist ein Körper, dessen identische Grundfläche und Deckfläche parallel zueinander liegen. Sind alle Seitenflächen senkrecht zu Grund- und Deckfläche, heißt es gerades Prisma, ansonsten schiefes Prisma. Hat ein gerades Prisma als Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck, so heißt es regelmäßig.

weil sich jedes Prisma analog zur Flächenberechnung von n -Ecken in Teilstücke von Quadern zerlegen lässt.

8.6 Volumen und Oberfläche von Zylindern

Analogie: Flächenberechnung am Kreis

Die Kreisfläche ist gleich groß zur Rechteckfläche:
Das Zylindervolumen ist gleich groß zum Quadervolumen:

8.7 Das Prinzip von Cavalieri

Stehen zwei Körper auf derselben Ebene E und erzeugt jede zu E parallele Ebene E’ bei beiden Körpern gleich große Schnittflächen, dann haben beide Körper dasselbe Volumen.

Seien die Schnittflächen und , erzeugt von , gleich groß und d der Abstand zwischen und . Dann gilt für kleines d : , also .

Bestehen zwei Körper aus paarweise volumengleichen Scheiben, dann haben sie dasselbe Volumen.
Die Schnittflächen erhält man auch durch zentrische Streckung an S mit Streckungsfaktor .

Für Flächen gilt:
.

Daher haben zwei Pyramiden mit gleich großen Grundflächen und gleichen Höhen in jeder Höhe gleich große Schnittflächen, also haben sie dasselbe Volumen.

8.8 Volumen und Oberfläche von Pyramiden

Definition

Der eingeschlossene Raum zwischen einem n-Eck und einem Punkt S außerhalb der Ebene des n-Ecks stellt einen Körper dar. Er wird als Pyramide bezeichnet.
Die Verbindungen von S und den Ecken der Grundfläche heißen Kanten, die von den Kanten eingeschlossenen Flächen ergeben zusammen den Mantel der Pyramide, die n-Eck-Fläche heißt Grundfläche und der Abstand zwischen der Spitze S und der Grundfläche ist die Höhe der Pyramide. Eine Pyramide mit regelmäßiger Grundfläche und Spitze senkrecht über dem n-Eck-Mittelpunkt heißt regelmäßige Pyramide.
Grundfläche und Mantel sind die Oberfläche der Pyramide.

Es genügt daher, die Formel zur Volumenbestimmung für eine bestimmte Pyramide zu zeigen.

Man kann einen Würfel in drei gleiche Pyramiden mit quadratischer Grundflächen und Höhe über einer Ecke zerlegen. Demnach gilt:

Ein Netz der Pyramide zeigt die Oberfläche der Pyramide originalgetreu, wobei die einzelnen Flächen an den Kanten und Seiten verbunden sind.

Ist der Körper nur an den Kanten aufgeschnitten, so nennt man das Netz Standardnetz.

Oberfläche der Pyramide:

Beispiel: regelmäßige 4-Eck-Pyramide mit k = a
Es gilt: ⇒

⇒
Neigungswinkel der Mantelflächen zur Grundfläche: α = 45°

Volumen des Pyramidenstumpfs

Höhe x der kleinen Pyramide eliminieren, da es keine Größe des Stumpfes ist.
⇒

⇒ , h Höhe des Stumpfes

, G Grundfläche, D Deckfläche

8.9 Volumen und Oberfläche von Kegeln

Ein Körper, der einen Kreis als Grundfläche hat und dessen Spitze senkrecht über dem Kreismittelpunkt liegt, heißt gerader Kreiskegel, im folgenden kurz: Kegel.

Gemäß dem Prinzip von Cavalieri lässt sich jeder Kegel mit einer Pyramide vergleichen, somit gilt:

Oberfläche des Kegels:

Herleitung der Mantelfläche eines Kegels:
Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreissektor mit Radius m. Die Länge des zugehörigen Kreisbogens b beträgt: 2π ⋅ r.
Der Anteil dieses Sektors am Vollkreis beträgt . Es gilt daher:

Mantelfläche: _^(*)
Oberfläche:

(*) mit

Legt man die Rotationsachse entlang einer Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks und lässt das Dreieck um diese Achse rotieren, so ergibt sich ein Kegel.

Volumen des Kegelstumpfes:

Mantelfläche: _^(*)
Oberfläche:

(*) mit