6. Eigenschaften von Funktionen

6.1 Verschieben des Graphen

• : Verschiebung entlang der x-Achse um s

: Verschiebung um s nach rechts
: Verschiebung um |s| nach links

• : Verschiebung entlang der y-Achse um t

: Verschiebung um t nach oben
: Verschiebung um |t| nach unten

6.2 Strecken und Spiegeln des Graphen

• : Streckung in y-Richtung um Faktor a

: eigenschaftenstabile Streckung
: gleichzeitige Spiegelung an der y-Achse

• : Streckung in x-Richtung um Faktor b

: eigenschaftenkonstante Streckung
: gleichzeitige Spiegelung an der x-Achse

Symmetrieeigenschaft zur y-Achse: f(–x)= f(x)

Symmetrieeigenschaft zum Ursprung: f(–x)=–f( x)

6.3 Grenzwerte

Gibt es für eine Funktion f einen Wert aΝ, dem sich alle Funktionswerte für große x beliebig nähern, so heißt a Grenzwert der Funktion f; man schreibt: .

Werden z.B. für eine Polynomfunktion die Funktionswerte immer größer, so schreibt man:

bzw. , kurz:

Besitzt eine Funktion keinen Grenzwert, so heißt die Funktion divergent und die Schreibweise ist unzulässig.

z.B.

6.4 Summe von Funktionen

Die Ersetzung der Variablen x durch (x–s) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um +s entlang der x -Achse. Die Addition einer Konstanten t bewirkt eine Verschiebung um +t entlang der y-Achse. Die Addition von weiteren Potenzen variieren den Verlauf des Graphen
entsprechend der Potenzfunktion.
Dadurch wird aus einer Potenzfunktion
eine Polynomfunktion.

Merkregeln:

• Für dominiert der Term mit der höchsten Potenz den graphischen Verlauf.
• Für dominiert der Term mit der niedrigsten Potenz den graphischen Verlauf.
• Der konstante Wert gibt den y-Achsenabschnitt an.