5. Grundlagen von Funktionen
5.1 Potenzfunktion
Die Funktion 
ť®ť, 
heißt Funktion n. Grades.
Die Graphen der Potenzfunktionen 
mit geraden Exponenten:
- sind achsensymmetrisch zur Achse x=0,
· haben die Punkte (-1|1), (0|0) und (1|1) gemeinsam,
· verlaufen ausschließlich im I. und II. Quadranten.
Die Graphen der Potenzfunktionen
mit ungeraden Exponenten:
- sind punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0)
· haben die Punkte (-1|-1), (0|0) und (1|1) gemeinsam,
· verlaufen ausschließlich im I. und III. Quadranten und steigen streng monoton an über den gesamten Definitionsbereich.
5.2 Polynomfunktionen
Die Funktion 
ť®ť, 
mit nÎ? und aiÎť heißt Polynomfunktion n-ten Grades.
Bsp: 
Grad: 5
, 
, 
, 
, 
 |
charakteristische Graphen einer Polynomfunktion 3. Grades:
charakteristische Graphen einer Polynomfunktion 4. Grades:
charakteristische Graphen einer Polynomfunktion 5./8. Grades:
- Die höchste Potenz an·xn der Polynomfunktion ist gerade:
a n >0: der Graph verläuft „von oben wieder nach oben“
a n <0: der Graph verläuft „von unten wieder nach unten“
Treten nur gerade Exponenten auf, ist die Polynomfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Die höchste Potenz an·xn der Polynomfunktion ist ungerade:
a n >0: der Graph verläuft „von unten nach oben“
a n <0: der Graph verläuft „von oben nach unten“
Treten nur ungerade Exponenten auf, ist die Polynomfunktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
- Eine Polynomfunktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen und höchstens n–1 Extremwerte.
· Je höher der Grad einer Polynomfunktion ist, desto steiler verläuft ihr Graph.
5.3 Polynomdivision
Jedes Polynom kann in ein Produkt von Polynomen 1. und 2. Grades zerlegt werden. Dadurch lassen sich die Nullstellen einer Polynomfunktion bestimmen.
Das Verfahren entspricht der schriftlichen Division:
geraten: 
vergleiche:
(x3-4x2+5x-2):(x-1)=x2-3x+2 3087:21=147
-(x3-x2) -21
-3x2+5x 98
-(3x2+3x) -84
2x-2 147
-(2x-2) -147
0 0
bleibt: 
, also 
, 
(1 ist doppelte NS)
(12x5-10x4-54x3-11x2 +12x-12):(2x2-3x-6)=6x3+4x2-3x+2
-12x5+18x4+36x3
8x4-18x3-11x2+12x-12
-(8x4-12x3-24x2)
-6x3+13x2+12x-12
-(-6x3+ 9x2+18x)
4x2– 6x-12
-(4x2– 6x-12)
0
Satz:
Ist aÎť eine Nullstelle des Graphen einer Polynomfunktion f vom Grad n, also 
, dann gilt 
mit einer Polynomfunktion g vom Grad n–1.
Ist für bÎť mit bąa 
, dann muss gelten 
, also b auch eine Nullstelle des Graphen der Funktion g und damit folgt 
mit einer Polynomfunktion h vom Grad n–2.
Folgerung:
Die Funktion f vom Grad n habe genau n Nullstellen.
Dann gilt: 
einfache Nullstelle: Graph schneidet die y-Achse
doppelte Nullstelle: Graph berührt die y-Achse, Extremum
dreifache Nullstelle: Terrassenpunkt
geradzahligfache Nullstelle: kein VZW der Funktionswerte
ungeradzahligfache Nullstelle: VZW der Funktionswerte
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