1.0 Quadratzahlen

bekannte Zahlenmengen

Die Existenz von 1 und 0 ist klar. Menge {0;1}
Anwendung der Addition liefert die Natürlichen Zahlen ℕ.
Anwendung der Subtraktion liefert die Ganzen Zahlen ℤ.
Die Multiplikation ist innerhalb der Menge ℤ ausführbar.
Anwendung der Division liefert die Rationalen Zahlen ℚ.
Es fehlt die uneingeschränkte Ausführbarkeit der Potenzen.

Potenzen

Es gilt: a² := a ⋅ a , a³ := a ⋅ a ⋅ a etc.

Die Quadrate ganzer Zahlen nennt man Quadratzahlen. Da das Quadrat negativer Zahlen positiv ist, gibt es keine negativen Quadratzahlen.

Pythagoras zeigte bereits im 6.JH, dass die bei 1 beginnende Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen eine Quadratzahl ergeben.

1	1 + 3 = 4	1 + 3 + 5 = 9	1 + 3 + 5 + 7 = 16

Satz: Das Quadrat eines vollständig gekürzten Bruches ist wieder ein vollständig gekürzter Bruch.

Beweis: Sei mit Primfaktoren p_i und q_j , p_i ≠ q_j für alle i, j ∈ ℕ.
Dann ist .

Da nach Voraussetzung p_i ≠ q_j für alle i, j ∈ ℕ sind, ist a² nicht kürzbar, also ein vollständig gekürzter Bruch. q.e.d.

1.1 Die Quadratwurzel

Eine Gleichung der Form x² + a = 0 heißt reinquadratische Gleichung.

• Für a > 0 gilt: , da x² ≥ 0 für alle x.
• Für a < 0 gibt es stets eine positive und eine betragsgleiche negative Lösung für x.
• Für a = 0 gilt: .
• Die Gleichung hat eine rationale Lösung genau dann, wenn es ein q ∈ ℚ gibt mit a = -q². Dann ist .

Beispiele:

1. , ℚ
   Es gilt: , aber auch:
   Also: oder
   
2. , ℚ
   Gesucht ist eine Zahl ℚ mit . Es ist leicht zu sehen, dass z, n ∈ ℚ , also . Da keine Zahl z ∈ ℤ mit z² = 2 existiert, ist .

Die positive Lösung der Gleichung x² = a bezeichnet man als Quadratwurzel aus a, kurz: Wurzel a. Man schreibt dafür .

Die Zahl a unter der Wurzel bezeichnet man Radikand.
Es gilt: , sowie
Das Radizieren ist die Umkehrung des Quadrierens.
Es gilt: ⇔ bzw. .

1.2 Irrationale Quadratwurzeln

Die Griechen entdeckten die Existenz irrationaler Zahlen am Problem der Quadratverdoppelung: „Wie lange ist die Seitenlänge eines Quadrats mit Flächeninhalt 2?“
Es gibt eine Strecke, deren Länge durch keine rationale Zahl angegeben werden kann.

Die Menge der Rationalen Zahlen ℚ ist unvollständig, da nicht für jede Streckenlänge eine rationale Maßzahl existiert.

Das Teilungsverhältnis der Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks zur Grundseite ist ebenfalls irrational. Es trägt den Namen »Goldener Schnitt« und wird uns später in der Geometrie beschäftigen.

Die Unvollständigkeit der Rationalen Zahlen ℚ

Beweis zur Irrationalität von :
Widerspruchsannahme: ℚ.
Sei mit p, q ∈ ℕ teilerfremd. Dann gilt: also . Somit ist p² gerade , also auch p gerade , da p ∈ ℕ . Es gilt daher: mit s ∈ ℕ und . Weil ist ebenfalls q² gerade , also auch q gerade , da q ∈ ℕ . Da p und q gerade sind, ist . Dies ist ein Widerspruch zu p und q teilerfremd, also ℚ. q.e.d.

1.3 Berechnung von Quadratwurzeln

• Irrationale Punkte auf der Zahlengerade
  
  Durch Abtragen der Diagonale des Einheitsquadrats lässt sich auf der Zahlengeraden ein Punkt P finden, dem keine rationale Zahl zugeordnet ist. Wir nennen diesen Punkt einen nicht rationalen oder irrationalen Punkt.

  Auf der Zahlengeraden gibt es unendlich viele irrationale Punkte – sogar viel mehr als rationale Punkte.

• Intervallschachtelung
  Durch systematisches Probieren finden wir :

  Da	liegt P im Intervall	der Länge
  12 < 2 < 22	[1; 2]	1
  1,42 < 2 < 1,52	[1,4; 1,5]	0,1
  1,412 < 2 < 1,422	[1,41; 1,42]	0,01
  1,4142 < 2 < 1,4152	[1,414; 1,415]	0,001
  1,41422 < 2 < 1,41432	[1,4142; 1,4143]	0,0001
  . . .	. . .	. . .

  Unser Vorgehen wird an der Zahlengeraden besonders deutlich:
  
  Wir erhalten eine Folge von Intervallen:
  I₀ = [1; 2]; I₁ = [1,4; 1,5]; I₂ = [1,41; 1,42]; …

  Eine Folge I₀, I₁, I₂, …, I_n, … von unendlich vielen Intervallen heißt Intervallschachtelung, wenn

  1. jedes Intervall im vorangehenden vollständig enthalten ist und
  2. die Länge der Intervalle mit wachsendem n beliebig klein wird.

• Das Heron-Verfahren
  Nach Wahl eines Startwertes x₀ liefert die Iterationsformel
  immer bessere Näherungswerte x₁, x₂ , … für . x_n weicht vom exakten Wert für um weniger als ab.
• schriftliches Wurzelziehen
  siehe pdf-Skript

1.4 Die Menge der Reellen Zahlen ℝ

Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der Reellen Zahlen ℝ.

Die Rationalen Zahlen lassen sich durch endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche darstellen.
Zahlen, die sich durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche darstellen lassen, heißen irrationale Zahlen.

Rationale Zahlen:      
Irrationale Zahlen: 0,12 122 1222 12222 …  
0,23456789 2022232425…   0,785453896247986923565885…
 

1.5 Der Körper der Reellen Zahlen

	Addition	Multiplikation
(E) Sind a, b ∈ ℝ , dann gilt:	a + b ∈ ℝ	a ⋅ b ∈ ℝ
(K) Für alle a, b ∈ ℝ gilt:	a + b = b + a	a ⋅ b = b ⋅ a
(A) Für alle a, b, c ∈ ℝ gilt:	(a + b) + c = a + (b + c)	(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
(N) In ℝ existiert das mit der Eigenschaft	neutrale Element 0 a + 0 = a	neutrale Element 1 a ⋅ 1 = a
(I) Für jedes a ∈ ℝ gibt es mit der Eigenschaft	ein inverses Element –a a + (-a) = 0	ein inverses Element , falls a ≠ 0
(D) Für alle a, b, c ∈ ℝ gilt:	a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

Ordnungsaxiom: Für a, b ∈ ℝ gilt: a < b oder a = b oder a > b .
(O1) Wenn a < b und b < c , dann ist a < c .
(O2) Wenn a < b , dann a + c < b + c.
(O3) Wenn a < b und a > 0 , dann ist a ⋅ c < b ⋅ c .

Vollständigkeitsaxiom:
Jedem Punkt der Zahlengerade lässt sich eine Zahl zuordnen.

(ℤ , + , ⋅ ) ist kein Körper.
(ℚ , + , ⋅ ) ist ein geordneter Körper, aber nicht vollständig.
(ℝ , + , ⋅ ) ist ein vollständig geordneter Körper.

1.6 Rechenregeln für Wurzeln

Multiplikationsregel :
Für beliebige Zahlen a, b ∈ ℝ gilt:

allgemein: Für a, b ∈ ℝ gilt: .

Divisionsregel :
Für beliebige Zahlen a ∈ ℝ und b ∈ ℝ^₊ gilt:

allgemein: Für a ∈ ℝ und b ∈ ℝ\{0} gilt: .

lässt sich im allgemeinen nicht vereinfachen.

Summen und Differenzen lassen sich nur mit Hilfe des Distributivgesetzes zusammenfassen.

Einen rationalen Nenner erreicht man durch Erweitern mit einem Wurzelwert oder mit einer irrationalen Summe unter Anwendung der dritten binomischen Formel.
   

Zu jedem Radikanden a ≥ 0 gibt es genau einen Wurzelwert . Deshalb gilt:

Zwei Quadratwurzeln und sind genau dann gleich, wenn ihre Radikanden a und b gleich sind.
⇔ a = b

1.7 Rationale Exponenten

Die nicht negative Lösung der Gleichung xⁿ = a wird durch bezeichnet mit a ∈ ℝ und n ∈ ℕ .

Es gilt: , ,
Setzt man , so gilt: , also .

Man definiert: , für a ∈ ℝ^₊, n ∈ ℕ, m ∈ ℤ .

Es gilt: ist Lösung der Gleichung xⁿ = a^m .

1.8 Rechengesetze für Potenzen

Man definiert: für a ∈ ℝ\{0}, n ∈ ℕ

Für a ∈ ℝ\{0}, z ∈ ℤ gilt:

Rechenregeln für a ∈ ℝ, b ∈ ℝ\{0}, n ∈ ℕ, m ∈ ℤ, p, q ∈ ℚ: