3. Exponentialfunktion und Logarithmus

3.1 Wachstum

a) Lineares Wachstum

• Funktionswert: , ť
• Konstanter Zuwachs:

· Differenz aufeinanderfolgender Werte ist konstant

• Graph: Gerade

f (0) = f₀ = 5

f (1) = f(0) + 10 = 5 + 1·10

f (2) = f(1) + 10 = 5 + 2·10

f (3) = f(2) + 10 = 5 + 3·10

etc.

f (t) = f(t–1) + 10 = 5 + t·10

mit t Anzahl der Zeitschritte

Für d < 0 spricht man von linearer Abnahme.

b) Exponentielles Wachstum

• Funktionswert: , ť
• Konstanter Wachstumsfaktor:
• prozentuale Zunahme:
• Quotient aufeinanderfolgender Werte ist konstant
• Graph: Exponentialfunktion

g (0) = g₀ = 100

g (1) = g(0) · 1,5 = 100 · 1,5¹

g (2) = g(1) · 1,5 = 100 · 1,5²

g (3) = g(2) · 1,5 = 100 · 1,5³

etc.

g (t) = g(t–1) · 1,5 = 100 · 1,5^t

mit t Anzahl der Zeitschritte

Für 0 < a < 1 spricht man von exponentieller Abnahme.

c) Finanzmathematik

· Sparbuch

Ein Kapital K₀ wird zu einem Zinssatz (Rendite ) von p% p.a. über einen Zeitraum von t Jahren angelegt.

jährliche Verzinsung:

monatliche Verzinsung:

Tagesgeldkonto:

· Mathematisches Sparbuch

Ein Kapital K₀ wird zu einem Zinssatz von p% p.a. über einen Zeitraum von t Jahren stetig verzinst.

(Die Verzinsungsetappe wird beliebig klein.)

· Anleihen, Dividende

Von einem Kapital K₀ wird jährlich der Zinsbetrag von p% p.a. vom Kapital K₀ ausbezahlt.

nach t Jahren:

· Annuitätendarlehen

Darlehen D₀ zu p% p.a. mtl. Rate

monatlich: ,

3.2 Exponentialfunktion

Wegen gilt: für alle ť⁺.

Für ist f streng monoton fallend, für ist f streng monoton steigend. Für ist f konstant.

Dabei stellt die Funktion , eine Besonderheit dar. Es gilt:

,

Verwendungen:

· Wachstumsentwicklung: Bakterien, Lebewesen, Finanzen

• Statistische Fragestellungen

· Radioaktiver Zerfall, Auf- und Entladen von Kondensatoren

• Dämpfungen: Stoßdämpfer, Feder, Schwingkreis

3.3 Anwendungen

• Wachstumsentwicklung:

Pilzkultur :

Weltbevölkerung : , , , ,

besser: , Jahreszahl JZ,

• Radioaktiver Zerfall:

Zerfallsgesetz für ²²³Ra : ,

Zerfallsgesetz für ²²⁶Ra : ,

• Weitere Bereiche der Physik:

Wohltemperierte Stimmung : ,

Sei c¹ der Bezugston mit , also a¹ Ton 9, a² Ton 21

Dann gilt: ,

Also: =>

Für alle Töne gilt damit:

Entladung von Kondensatoren :

3.4 Logarithmus

Die Gleichung mit ist eindeutig lösbar.

<=> =>

Schreibweisen: , ,

Rechenregeln:

3.5 Logarithmusfunktion

Wegen gilt: für alle ť⁺.

Für ist f streng monoton fallend, für ist f streng monoton steigend. Für ist f nicht definiert.

Die Funktion ist die Umkehrfunktion von exp(x). Es gilt:

Lautstärke : , „ “

Dämpfung: , Verstärkung:

+3dB bedeutet Verdoppelung der Energie, Leistung, Intensität. Für Druck, Lautstärke, Spannung, Stromstärke, Feldgröße: , also Verdoppelung bei +6dB.

Hörschwelle: 0dB = 20mPa, Schmerzgrenze: 120 dB = 20Pa

3.6 Exponentialgleichungen

Die Lösung der Gleichung lässt sich natürlich mit angeben, doch empfiehlt sich eine einheitliche Logarithmusbasis, z.B. 10 oder e; entsprechend lg oder ln.

? ||ln Ť ||ln

=> =>

=> =>

=>

? Subst:

,

,