1. Natürliche Zahlen

1.1 Bedeutung der natürlichen Zahlen

Alle Schüler einer Klasse stellen sich für den Sportunterricht
der Größe nach auf und erhalten die entsprechende
Platznummer. Numerieren und Sortieren

Jeder Schüler soll für eine Übung einen Ball aus einem
Ballkorb erhalten. Wie kann man feststellen, ob genügend Bälle im Korb liegen?

  • Man zählt die Anzahl der Schüler und die Anzahl der Bälle.
    Sind es mindestens so viele Bälle wie Schüler, reichen die
    Bälle aus.
        Abzählen und dann Vergleichen
  • Jeder Schüler erhält einen Ball, bis kein Schüler oder kein
    Ball mehr übrig ist. Bleibt kein Schüler übrig, waren es
    genügend Bälle.
        Zuordnen und dann Vergleichen

Wir verwenden natürliche Zahlen zum Abzählen oder
Zuordnen, um dann die Anzahl zu vergleichen.
Natürliche Zahlen eignen sich auch zum Ordnen und
Numerieren, um eine Gruppe zu sortieren.

Beim Vergleich von Zahlen verwendet man die Symbole „<“ (kleiner)
und „>“ (größer). Ist eine natürliche Zahl um 1 kleiner als eine andere
Zahl, so nennen wir sie ihren Vorgänger, ist sie um 1 größer, nennen wir
sie ihren Nachfolger.

Es gilt: 3 < 7,    1 < 4,    15 > 11,    8 < 23 
14 ist der Nachfolger von 13, 25 ist der Vorgänger von 26.

Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und jede natürliche Zahlen
außer 1 hat auch einen Vorgänger.

Die natürlichen Zahlen lassen sich am Zahlenstrahl anordnen, wobei größere
Zahlen weiter rechts und kleine Zahlen weiter links stehen.

Zahlen, z.B. bei Umfragen, lassen sich auch in Diagrammen, darstellen. Es gibt Strichlisten,

 Säulendiagramme

 Bilddiagramme, u.v.m.

Wichtig ist, dass die Länge der Säule durch eine seitliche
Skalierung, verwendete Symbole durch eine Legende erklärt werden.

1.2 Zahlensysteme

a) Römische Zahlen

Die Römer verwendeten sieben Zahlzeichen zur Darstellung der Zahlen.

C steht für 100 (lat. centum)
I steht für 1 (Symbol eines Fingers)                 L steht für 50 (Hälfte von C)
V steht für 5 (Symbol einer gespreizten Hand)   M steht für 1000 (lat. mille)
X steht für 10 (das Doppelte einer Hand)         D steht für 500 (Hälfte von M)

Die römischen Zahlzeichen werden additiv ihrer Größe nach hintereinander geschrieben.
So steht
VI für 5 + 1 = 6 
XII steht für 10 + 1 + 1 = 12
CLV steht für 100 + 50 + 5 = 155

Stellt man ein kleineres Symbol vor ein größeres, so wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
Also steht 
IV
 für 5 – 1 = 4
IX steht für 10 – 1 = 9 
CIV
 steht für 100 + (5 – 1) = 104 
MCCXL steht für 1000 + 100 + 100 + (50 – 10) = 1240

  • Die Zahlzeichen werden der Größe nach hintereinander geschrieben und addiert.
  • Höchstens eines der Zeichen I, X, C kann vor ein jeweils größeres Zeichen vorangestellt werden. Das kleinere wird dann vom größeren subtrahiert.
  • Die Zeichen I, X, C werden höchstens dreimal, die Zeichen V, L, D höchstens einmal hintereinander geschrieben.

 

b) Das Dezimalsystem

Im Dezimalsystem geben die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 die Größe der Stelle
einer Zahl an, die Zahl selbst kann also aus mehreren Ziffern bestehen.

Die Zahl 23 steht für 2 Zehner und 3 Einer, kurz: 2Z,3E.

Die Zahl 203 steht für 2 Hunderter und 3 Einer, kurz: 2H,3E, 32 steht für 3Z,2E. Die Position der Ziffern ist wichtig!

Die Zehnerpotenzen 10, 100, 1000, 10’000 etc. bezeichnet man in diesem Zusammenhang auch als Stufenzahl.

Billionen

Milliarden

Millionen

Tausender

 

H

Z

E

H

Z

E

H

Z

E

H

Z

E

H

Z

E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

0

2

4

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

4

0

0

3

0

9

 

 

 

2

1

0

3

0

0

0

0

0

9

0

1

4

50’241 = fünfzigtausendzweihunderteinundvierzig

12’400’309 = zwölf Millionen vierhunderttausenddreihundertneun

2’103’000’009’014 = zwei Billionen einhundertdrei Milliarden neuntausendvierzehn

1 Million = 1 Mio. = 1’000’000 = 10 6 engl. million
1 Milliarde = 1 Mrd. = 1’000’000’000 = 10 9 engl. billion
1 Billion = 1 Bio. = 1’000’000’000’000 = 10 12 engl. trillion
1 Billiarde = 1’000’000’000’000’000 = 10 15 engl. quadrillion
1 Trillion = 1’000’000’000’000’000’000 = 10 18 engl. quintillion

12’400’309 = 12 Mio. 400 T. 309

2’103’000’009’014 = 2 Bio. 103 Mrd. 9 T. 14

Beim Runden einer Zahl auf eine Stelle entscheidet die Ziffer der nächst kleineren Stelle.
Ist sie eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird die Zahl abgerundet, ist sie eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wirdsie aufgerundet. Man verwendet das Zeichen „≈“ (ungefähr).

Rundet man 58’163 auf Z, so wird abgerundet: ,
Rundet man auf H, so wird aufgerundet: ,
Rundet man auf ZT, so wird aufgerundet: ,
Rundet man auf Mio, so wird abgerundet: , etc.

1.3 Zahlenmenge

Zahlen mit gemeinsamen Eigenschaften werden zu Zahlen-mengen zusammengefasst.
Man schreibt dafür „{_;_;_;_}“.

Die Menge  = { 1;2;3;4…}heißt Menge der Natürlichen Zahlen. Die Zahl 0 gehört nicht dazu, kurz   (Null ist kein Element der Menge ). Entsprechend gilt z.B:  .

Weitere Zahlenmengen:

Ist eine Zahl nur durch sich selbst und durch 1 teilbar, heißt sie Primzahl. Die Zahl 1 ist also keine Primzahl.
Die Menge der Primzahlen ist {2;3;5;7;11;13;17;19;23;…}.

Die Menge der Quadratzahlen ist .
Die Menge aller Teiler von 24 ist ,
die Menge aller Vielfachen von 5 ist .

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