1. Quadratzahlen
1.1 bekannte Zahlenmengen
Die Existenz von 1 und 0 ist klar. Menge
Anwendung der Addition liefert die natürlichen Zahlen .
Anwendung der Subtraktion liefert die ganzen Zahlen .
Die Multiplikation ist innerhalb der Menge ausführbar.
Anwendung der Division liefert die rationalen Zahlen .
Es fehlt die uneingeschränkte Ausführbarkeit der Potenzen.
1.2 Potenzen
Es gilt: , etc.
Festlegung: , für alle
Die Quadrate ganzer Zahlen nennt man Quadratzahlen. Da das Quadrat negativer Zahlen positiv ist, gibt es keine negativen Quadratzahlen.
Pythagoras zeigte bereits im 6.JH, dass die bei 1 beginnende Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen eine Quadratzahl ergeben.
1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16
Satz: Das Quadrat eines vollständig gekürzten Bruches ist wieder ein vollständig gekürzter Bruch.
Beweis: Sei mit Primfaktoren pi und qj , für alle . Dann ist
. Da nach Voraussetzung für alle sind, ist a2 nicht kürzbar, also ein vollständig gekürzter Bruch. q.e.d.
1.3 Reinquadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form heißt reinquadratische Gleichung.
· Für gilt: , da für alle x.
· Für gibt es stets eine positive und eine betragsgleiche negative Lösung für x.
· Für gilt: .
· Die Gleichung hat eine rationale Lösung genau dann, wenn es ein gibt mit . Dann ist .
Beispiele:
1. , G =
3. Binomische Formel
Ein Produkt hat genau dann den Wert null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
I. oder II.
oder
2. , G =
Es gilt: , aber auch:
Also: oder
3. , G =
Gesucht ist eine Zahl mit . Es ist leicht zu sehen, dass , also . Da keine Zahl mit existiert, ist .
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