1. Quadratzahlen

1.1 bekannte Zahlenmengen

Die Existenz von 1 und 0 ist klar.         Menge 

Anwendung der Addition liefert die natürlichen Zahlen .

Anwendung der Subtraktion liefert die ganzen Zahlen .

Die Multiplikation ist innerhalb der Menge  ausführbar.

Anwendung der Division liefert die rationalen Zahlen .

Es fehlt die uneingeschränkte Ausführbarkeit der Potenzen.

1.2 Potenzen

Es gilt:  ,   etc.

Festlegung:  , für alle 

Pythagoras zeigte bereits im 6.JH, dass die bei 1 beginnende Summe aufeinanderfolgender ungerader Zahlen eine Quadratzahl ergeben. 

  1            1+3=4            1+3+5=9                           1+3+5+7=16

Beweis: Sei   mit Primfaktoren p_i und q_j ,   für alle  . Dann ist

 . Da nach Voraussetzung   für alle   sind, ist a² nicht kürzbar, also ein vollständig gekürzter Bruch.            q.e.d.

1.3 Reinquadratische Gleichungen

·        Für   gilt:  , da   für alle x.

·        Für   gibt es stets eine positive und eine betragsgleiche negative Lösung für x.

·        Für   gilt:  .

·        Die Gleichung hat eine rationale Lösung genau dann, wenn es ein   gibt mit  . Dann ist  .

Beispiele:

1.  , G = 

              3. Binomische Formel

Ein Produkt hat genau dann den Wert null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

I.                  oder                 II. 

                     oder                   

2.  , G = 

        Es gilt:  , aber auch: 

Also:                oder                   

3.  , G = 

Gesucht ist eine Zahl   mit  . Es ist leicht zu sehen, dass   , also  . Da keine Zahl  mit   existiert, ist  .