2. Die Quadratwurzel
2.1 Definition
Die positive Lösung der Gleichung bezeichnet man als Quadratwurzel aus a, kurz: Wurzel a. Man schreibt dafür .
Die Zahl a unter der Wurzel bezeichnet man Radikand. Es gilt: , sowie
Das Radizieren ist die Umkehrung des Quadrierens.
Es gilt: <=> bzw. .
Ist der Radikand eine Summe, so lässt sich der Term nur vereinfachen, falls die Summe als Quadrat geschrieben werden. Der Summenterm heißt dann vollständiges Quadrat.
2.2 Irrationale Quadratwurzeln
Die Griechen entdeckten die Existenz irrationaler Zahlen am Problem der Quadratverdoppelung: „Wie lange ist die Seitenlänge eines Quadrats mit Flächeninhalt 2?“ Es gibt eine Strecke, deren Länge durch keine rationale Zahl angegeben werden kann. |
Die Menge der rationalen Zahlen ist unvollständig, da nicht für jede Streckenlänge eine rationale Maßzahl existiert.
Das Teilungsverhältnis der Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks zur Grundseite ist ebenfalls irrational. Es trägt den Namen »Goldener Schnitt« und wird uns später in der Geometrie beschäftigen . Beweis zur Irrationalität von : →AB_M9_2.2Alg |
Annahme: .
Sei mit teilerfremd. Dann gilt: also . Somit ist p2 gerade , also auch p gerade , da . Es gilt daher: mit und . Weil ist ebenfalls q2 gerade , also auch q gerade , da . Da p und q gerade sind, ist . Dies ist ein Widerspruch zu p und q teilerfremd, also . q.e.d.
2.3 Berechnung von Quadratwurzeln
· Irrationale Punkte auf der Zahlengerade
Durch Abtragen der Diagonale des Einheitsquadrats lässt sich auf der Zahlengeraden ein Punkt P finden, dem keine rationale Zahl zugeordnet ist. Wir nennen diesen Punkt einen nicht rationalen oder irrationalen Punkt.
Auf der Zahlengeraden gibt es unendlich viele irrationale Punkte – sogar viel mehr als rationale Punkte.
· Intervallschachtelung
Durch systematisches Probieren finden wir :
Da |
liegt P im Intervall |
der Länge |
12 < 2 < 22 |
[1; 2] |
1 |
1,42 < 2 < 1,52 |
[1,4; 1,5] |
0,1 |
1,412 < 2 < 1,422 |
[1,41; 1,42] |
0,01 |
1,4142 < 2 < 1,4152 |
[1,414; 1,415] |
0,001 |
1,41422 < 2 < 1,41432 |
[1,4142; 1,4143] |
0,0001 |
1,414212 < 2 < 1,414222 |
[1,41421; 1,41422] |
0,00001 |
M |
M |
L M |
Unser Vorgehen wird an der Zahlengeraden besonders deutlich:
Wir erhalten eine Folge von Intervallen:
I0 = [1; 2]; I1 = [1,4; 1,5]; I2 = [1,41; 1,42]; …
Eine Folge I0, I1, I2, …, In, … von unendlich vielen Intervallen heißt Intervallschachtelung, wenn
1. jedes Intervall im vorangehenden vollständig enthalten ist und
2. die Länge der Intervalle mit wachsendem n beliebig klein wird.
· Das Heron-Verfahren
Nach Wahl eines Startwertes x0 liefert die Iterationsformel
immer bessere Näherungswerte x1, x2, … für . xn weicht vom exakten Wert für um weniger als ab.
2.4 Die Menge der reellen Zahlen
Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen .
Die rationalen Zahlen lassen sich durch endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche darstellen.
Zahlen, die sich durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche darstellen lassen, heißen irrationale Zahlen.
Rationale Zahlen:
Irrationale Zahlen: 0,12 122 1222 12222 … 0,23456789 2022232425… 0,785453896247986923565885…
2.5 Der Körper der reellen Zahlen
Addition |
Multiplikation |
|
(E) Sind , dann gilt: |
|
|
(K) Für alle gilt: |
|
|
(A) Für alle gilt: |
|
|
(N) In existiert das mit der Eigenschaft |
neutrale Element 0
|
neutrale Element 1
|
(I) Für jedes gibt es mit der Eigenschaft |
ein inverses Element – a
|
ein inverses Element , falls |
(D) Für alle gilt: |
|
Ordnungsaxiom: Für gilt: oder oder .
(O1) Wenn und , dann ist .
(O2) Wenn , dann .
(O3) Wenn und , dann ist .
Vollständigkeitsaxiom:
Jedem Punkt der Zahlengerade lässt sich eine Zahl zuordnen.
ist kein Körper.
ist ein geordneter Körper, aber nicht vollständig.
ist ein vollständig geordneter Körper.
2.6 Rechenregeln für Wurzeln
Multiplikationsregel:
Für beliebige Zahlen gilt:
allgemein: Für gilt: .
Divisionsregel:
Für beliebige Zahlen und gilt:
allgemein: Für und \ gilt: .
lässt sich im allgemeinen nicht vereinfachen.
Summen und Differenzen lassen sich nur mit Hilfe des Distributivgesetzes zusammenfassen.
Einen rationalen Nenner erreicht man durch Erweitern mit einem Wurzelwert oder mit einer irrationalen Summe unter Anwendung der dritten binomischen Formel.
Zu jedem Radikanden gibt es genau einen Wurzelwert . Deshalb gilt:
Zwei Quadratwurzeln und sind genau dann gleich, wenn ihre Radikanden a und b gleich sind.
<=>
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