2. Die Quadratwurzel

2.1 Definition

Die Zahl a unter der Wurzel bezeichnet man Radikand. Es gilt:  , sowie 

Das Radizieren ist die Umkehrung des Quadrierens.

Es gilt:   <=>   bzw.  .

Die Griechen entdeckten die Existenz irrationaler Zahlen am Problem der Quadratverdoppelung: „Wie lange ist die Seitenlänge eines Quadrats mit Flächeninhalt 2?“ Es gibt eine Strecke, deren Länge durch keine rationale Zahl angegeben werden kann.

Das Teilungsverhältnis der Diagonalen eines regelmäßigen Fünfecks zur Grundseite ist ebenfalls irrational. Es trägt den Namen »Goldener Schnitt« und wird uns später in der Geometrie beschäftigen .  Beweis zur Irrationalität von  : →AB_M9_2.2Alg

Annahme:  .

Sei   mit   teilerfremd. Dann gilt:   also   . Somit ist  p² gerade  , also auch  p gerade  , da  . Es gilt daher:   mit   und  . Weil   ist ebenfalls  q² gerade  , also auch  q gerade  , da  . Da p und q gerade sind, ist   . Dies ist ein Widerspruch zu p und q teilerfremd, also  .                                                                               q.e.d.

2.3 Berechnung von Quadratwurzeln

·        Irrationale Punkte auf der Zahlengerade

Durch Abtragen der Diagonale des Einheitsquadrats lässt sich auf der Zahlengeraden ein Punkt P finden, dem keine rationale Zahl zugeordnet ist. Wir nennen diesen Punkt einen nicht rationalen oder irrationalen Punkt.

·        Intervallschachtelung

Durch systematisches Probieren finden wir  :

Da	liegt P im Intervall	der Länge
12 < 2 < 22	[1; 2]	1
1,42 < 2 < 1,52	[1,4; 1,5]	0,1
1,412 < 2 < 1,422	[1,41; 1,42]	0,01
1,4142 < 2 < 1,4152	[1,414; 1,415]	0,001
1,41422 < 2 < 1,41432	[1,4142; 1,4143]	0,0001
1,414212 < 2 < 1,414222	[1,41421; 1,41422]	0,00001
M	M	L   M

Unser Vorgehen wird an der Zahlengeraden besonders deutlich:

Wir erhalten eine Folge von Intervallen:

            I₀ = [1; 2]; I₁ = [1,4; 1,5]; I₂ = [1,41; 1,42]; …

·        Das Heron-Verfahren

Nach Wahl eines Startwertes x₀ liefert die Iterationsformel

  immer bessere Näherungswerte x₁, x₂, … für  . x_n weicht vom exakten Wert für   um weniger als   ab.

2.4 Die Menge der reellen Zahlen 

Die rationalen Zahlen lassen sich durch endliche oder unendliche periodische Dezimalbrüche darstellen.

Zahlen, die sich durch unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche darstellen lassen, heißen irrationale Zahlen.

Rationale Zahlen:                      

Irrationale Zahlen: 0,12 122 1222 12222 …      0,23456789 2022232425…    0,785453896247986923565885…

            

2.5 Der Körper der reellen Zahlen

	Addition	Multiplikation
(E) Sind  , dann gilt:
(K) Für alle   gilt:
(A) Für alle   gilt:
(N) In  existiert das mit der Eigenschaft	neutrale Element 0	neutrale Element 1
(I) Für jedes   gibt es mit der Eigenschaft	ein inverses Element – a	ein inverses Element   , falls
(D) Für alle   gilt:

Ordnungsaxiom:      Für   gilt:  oder  oder  .

(O1) Wenn   und  , dann ist  .

(O2) Wenn  , dann  .

(O3) Wenn   und  , dann ist  .

Vollständigkeitsaxiom:

Jedem Punkt der Zahlengerade lässt sich eine Zahl zuordnen.

  ist kein Körper.

  ist ein geordneter Körper, aber nicht vollständig.

  ist ein vollständig geordneter Körper.

2.6 Rechenregeln für Wurzeln

allgemein:         Für   gilt:  .

allgemein:         Für   und  \  gilt:  .

Summen und Differenzen lassen sich nur mit Hilfe des Distributivgesetzes zusammenfassen.

Zu jedem Radikanden   gibt es genau einen Wurzelwert  . Deshalb gilt: