3. Quadratische Gleichungen

3.1 Die allgemeine quadratische Gleichung

 ,           

  ist das quadrat.,   das lineare und c das konstante Glied.

Für   liegt eine reinquadratische Gleichung vor.

Für   ergibt sich eine lineare Gleichung.

Für   nennt man die Gleichung gemischtquadratisch.

3.2 Lösen durch Faktorisieren

Bsp 1)                     Bsp 2)     || 

        ||                            || 

                                     

                                         

Bsp 3)        

         

Bsp 4)        

                         

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

3.3 Satz von Vieta

Lässt sich die quadratische Gleichung in ein Produkt umwandeln, erhält man die Lösungen durch „null setzen“ der einzelnen Faktoren.

Für eine allgemeine quadratische Gleichung gilt dann:

 ,                      , denn 

Lässt sich diese Gleichung als Produkt schreiben, dann nur in der Form   mit Werten  .

ausmultipliziert: 

Koeffizientenvergleich ergibt den Satz von Vieta:

Gibt es zwei Zahlen   mit   und  , dann gilt:  , also 

3.4 Die Lösungsformel für quadrat. Gleichungen

 ,                      , denn 

                        quadratische Ergänzung

           

                               Fallunterscheidung !!

                       Auflösen der Beträge ergibt

                    

        bzw.           

Wir holen nun die erforderliche Fallunterscheidung nach:

Man definiert die Diskriminante 

Für   gilt:   ist nicht definiert, also  .

Für   gilt:  , somit gibt es nur eine Lösung.

Für   gibt es zwei Lösungen, also  .

3.5 Biquadratische Gleichungen

Eine Gleichung der Form  , mit   heißt biquadratisch, da sie mittels Substitution  auf eine quadratische Gleichung   zurück geführt werden kann.

Für die Lösungen gilt dann:   und  , falls  , also  .

Bsp 1)                             Subst.: 

 , also  , 

 ,  ,  ,  , also 

Bsp 2)                           Subst.: 

 ,  , aber  , daher x3 und x4 nicht definiert, also 

3.6 Quadratische Gleichungen mit Parametern

Für welche Werte   besitzt die Gleichung   zwei Lösungen. Wie lauten sie?

               2 Lsg <=> 

Es muss damit gelten:  , also  \ 

  und 

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