3. Quadratische Gleichungen
3.1 Die allgemeine quadratische Gleichung
,
ist das quadrat., das lineare und c das konstante Glied.
Für liegt eine reinquadratische Gleichung vor.
Für ergibt sich eine lineare Gleichung.
Für nennt man die Gleichung gemischtquadratisch.
3.2 Lösen durch Faktorisieren
Bsp 1) Bsp 2) ||
|| ||
Bsp 3)
Bsp 4)
Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
3.3 Satz von Vieta
Lässt sich die quadratische Gleichung in ein Produkt umwandeln, erhält man die Lösungen durch „null setzen“ der einzelnen Faktoren.
Für eine allgemeine quadratische Gleichung gilt dann:
, , denn
Lässt sich diese Gleichung als Produkt schreiben, dann nur in der Form mit Werten .
ausmultipliziert:
Koeffizientenvergleich ergibt den Satz von Vieta:
Gibt es zwei Zahlen mit und , dann gilt: , also
3.4 Die Lösungsformel für quadrat. Gleichungen
, , denn
quadratische Ergänzung
Fallunterscheidung !!
Auflösen der Beträge ergibt
bzw.
Wir holen nun die erforderliche Fallunterscheidung nach:
Man definiert die Diskriminante
Für gilt: ist nicht definiert, also .
Für gilt: , somit gibt es nur eine Lösung.
Für gibt es zwei Lösungen, also .
3.5 Biquadratische Gleichungen
Eine Gleichung der Form , mit heißt biquadratisch, da sie mittels Substitution auf eine quadratische Gleichung zurück geführt werden kann.
Für die Lösungen gilt dann: und , falls , also .
Bsp 1) Subst.:
, also ,
, , , , also
Bsp 2) Subst.:
, , aber , daher x3 und x4 nicht definiert, also
3.6 Quadratische Gleichungen mit Parametern
Für welche Werte besitzt die Gleichung zwei Lösungen. Wie lauten sie?
2 Lsg <=>
Es muss damit gelten: , also \
und
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