4. Quadratfunktion

4.1 Normalparabel

Die Funktion heißt Quadratfunktion, ihr Graph heißt Normalparabel.

Wertetabelle der Normalparabel:

x

-3

-2

-1,5

-1

-0,5

-0,3

0

0,3

0,5

1

1,5

2

3

y

9

4

2,25

1

0,25

0,09

0

0,09

0,25

1

2,25

4

9

 

Eigenschaften der Normalparabel:

·        nach oben geöffnete, gekrümmte Kurve

·        Scheitel  ist der tiefste Punkt der Parabel

·        symmetrisch zur y-Achse, denn ,

·        für  ist f streng monoton fallend, für  ist f streng monoton steigend

·        für große x, wird x2 auch groß; Wf ist nicht nach oben beschränkt

.

Im DABC ist  und es gilt: , also ist die Spur von D der Graph Gf von

4.2 Normalparabel und Gerade

<=>

Sei und . Dann sind die Lösungen der quadratischen Gleichung die Schnittpunkte von f und g. Dies ermöglicht eine graphische (näherungsweise) Lösung für quadratische Gleichungen.

Algebraisch gilt: => ,

=>

Man unterscheidet drei Fälle:

2 Schnittpunkte 1 Schnittpunkt kein Schnittpunkt

g ist Sekante g ist Tangente g ist Passante

4.3 Verschiebung der Normalparabel

Verschiebung entlang der x-Achse um s

:  Verschiebung um s nach links

:   Verschiebung um |s| nach rechts

neue Eigenschaften zur Normalparabel:

·        Kurvenform bleibt erhalten

·        Scheitel ist

·        symmetrisch  zur  Achse  , denn ,

·        für  ist f streng monoton fallend,

für  ist f streng monoton steigend

Verschiebung entlang der y-Achse um t

: Verschiebung um t nach oben

: Verschiebung um |t| nach unten

neue Eigenschaften zur Normalparabel:

·        Scheitel ist

4.4 Streckung der Normalparabel

,

für  wird die Parabel schlanker

für  wird die Parabel breiter

für  wird die Parabel an der

x-Achse gespiegelt

Mit  gilt:

Damit gilt . Diese Punkte  gehen aus  mittels zentrischer Streckung an (0|0) mit Streckungsfaktor  hervor. Damit sind alle Parabeln zueinander ähnlich.

4.5 Allgemeine Parabel

ist die allgemeine quadratische Gleichung

<=>

<=> <=>

heißt Scheitelform mit , ,

Eigenschaften der allgemeinen Parabel:

·        Kurve und Öffnung sind durch a bestimmt

·        Scheitel  ist der tiefste bzw. höchste Punkt der Parabel

·        Nullstellen:     

falls b2 > 4ac: 2 Nullstellen

symmetrisch zu xS

falls b2 = 4ac: 1 Nullstelle

falls b2 < 4ac: keine Nullstellen

·        symmetrisch zur Achse

4.6 Parabeln und Geraden

I.    Parabelgleichung:

II. Geradengleichung: bzw.

Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind die Schnittpunkte von Parabel und Gerad e. Es lässt sich stets auf die Form mit bringen, wobei , und gilt. Somit ergeben sich zwei, eine oder keine Lösung. Die Gerade stellt daher eine Sekante, Tangente oder Passante zur Parabel dar.

4.7 Parabel und Parabel

I.    Parabelgleichung 1:

II. Parabelgleichung 2:

Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der beiden Parabeln. Es lässt sich ebenfalls auf die Form mit bringen, wobei , und gilt. Somit ergeben sich zwei, eine oder keine Lösung. Für ergibt sich als Lösung:

Dabei gibt den Abstand der beiden Parabeln zueinander an der Stelle x an.

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