4. Quadratfunktion
4.1 Normalparabel
Die Funktion heißt Quadratfunktion, ihr Graph heißt Normalparabel.
Wertetabelle der Normalparabel:
x |
-3 |
-2 |
-1,5 |
-1 |
-0,5 |
-0,3 |
0 |
0,3 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
y |
9 |
4 |
2,25 |
1 |
0,25 |
0,09 |
0 |
0,09 |
0,25 |
1 |
2,25 |
4 |
9 |
Eigenschaften der Normalparabel:· nach oben geöffnete, gekrümmte Kurve · Scheitel ist der tiefste Punkt der Parabel · symmetrisch zur y-Achse, denn , · für ist f streng monoton fallend, für ist f streng monoton steigend · für große x, wird x2 auch groß; Wf ist nicht nach oben beschränkt . |
Im DABC ist und es gilt: , also ist die Spur von D der Graph Gf von
4.2 Normalparabel und Gerade
<=>
Sei und . Dann sind die Lösungen der quadratischen Gleichung die Schnittpunkte von f und g. Dies ermöglicht eine graphische (näherungsweise) Lösung für quadratische Gleichungen.
Algebraisch gilt: => ,
=>
Man unterscheidet drei Fälle:
2 Schnittpunkte 1 Schnittpunkt kein Schnittpunkt
g ist Sekante g ist Tangente g ist Passante
4.3 Verschiebung der Normalparabel
Verschiebung entlang der x-Achse um s
: Verschiebung um s nach links : Verschiebung um |s| nach rechts neue Eigenschaften zur Normalparabel:· Kurvenform bleibt erhalten · Scheitel ist · symmetrisch zur Achse , denn , · für ist f streng monoton fallend, für ist f streng monoton steigend |
Verschiebung entlang der y-Achse um t
: Verschiebung um t nach oben : Verschiebung um |t| nach unten neue Eigenschaften zur Normalparabel:· Scheitel ist |
4.4 Streckung der Normalparabel
, für wird die Parabel schlanker für wird die Parabel breiter für wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt Mit gilt: Damit gilt . Diese Punkte gehen aus mittels zentrischer Streckung an (0|0) mit Streckungsfaktor hervor. Damit sind alle Parabeln zueinander ähnlich. |
4.5 Allgemeine Parabel
ist die allgemeine quadratische Gleichung
<=>
<=> <=>
heißt Scheitelform mit , ,
Eigenschaften der allgemeinen Parabel:· Kurve und Öffnung sind durch a bestimmt · Scheitel ist der tiefste bzw. höchste Punkt der Parabel · Nullstellen: falls b2 > 4ac: 2 Nullstellen symmetrisch zu xS falls b2 = 4ac: 1 Nullstelle falls b2 < 4ac: keine Nullstellen · symmetrisch zur Achse |
4.6 Parabeln und Geraden
I. Parabelgleichung:
II. Geradengleichung: bzw.
Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind die Schnittpunkte von Parabel und Gerad e. Es lässt sich stets auf die Form mit bringen, wobei , und gilt. Somit ergeben sich zwei, eine oder keine Lösung. Die Gerade stellt daher eine Sekante, Tangente oder Passante zur Parabel dar.
4.7 Parabel und Parabel
I. Parabelgleichung 1:
II. Parabelgleichung 2:
Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind die Schnittpunkte der beiden Parabeln. Es lässt sich ebenfalls auf die Form mit bringen, wobei , und gilt. Somit ergeben sich zwei, eine oder keine Lösung. Für ergibt sich als Lösung:
Dabei gibt den Abstand der beiden Parabeln zueinander an der Stelle x an.
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