1.1 Bedeutung der natürlichen Zahlen
Alle Schüler einer Klasse stellen sich für den Sportunterricht der Größe nach auf und erhalten die entsprechende Platznummer. Numerieren und Sortieren
Jeder Schüler soll für eine Übung einen Ball aus einem Ballkorb erhalten. Wie kann man feststellen, ob genügend Bälle im Korb liegen?
- Man zählt die Anzahl der Schüler und die Anzahl der Bälle. Sind es mindestens so viele Bälle wie Schüler, reichen die Bälle aus.
Abzählen und dann Vergleichen - Jeder Schüler erhält einen Ball, bis kein Schüler oder kein Ball mehr übrig ist. Bleibt kein Schüler übrig, waren es genügend Bälle.
Zuordnen und dann Vergleichen
Wir verwenden natürliche Zahlen zum Abzählen oder Zuordnen, um dann die Anzahl zu vergleichen.
Natürliche Zahlen eignen sich auch zum Ordnen und Numerieren, um eine Gruppe zu sortieren.
Beim Vergleich von Zahlen verwendet man die Symbole „<“ (kleiner) und „>“ (größer). Ist eine natürliche Zahl um 1 kleiner als eine andere Zahl, so nennen wir sie ihren Vorgänger, ist sie um 1 größer, nennen wir sie ihren Nachfolger.
Es gilt: 3<7, 1<4, 15>11, 8<23
14 ist der Nachfolger von 13, 25 ist der Vorgänger von 26.
Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger und jede natürliche Zahlen außer 1 hat auch einen Vorgänger.
Die natürlichen Zahlen lassen sich am Zahlenstrahl anordnen, wobei größere Zahlen weiter rechts und kleine Zahlen weiter links stehen.
Zahlen, z.B. bei Umfragen, lassen sich auch in Diagrammen, darstellen. Es gibt Strichlisten, Säulendiagramme, Bilddiagramme, u.v.m.
Wichtig ist, dass die Länge der Säule durch eine seitliche Skalierung, verwendete Symbole durch eine Legende erklärt werden.
1.2 Zahlensysteme
a) Römische Zahlen
Die Römer verwendeten sieben Zahlzeichen zur Darstellung der Zahlen.
I steht für 1 (Symbol eines Fingers)
V steht für 5 (Symbol einer gespreizten Hand)
X steht für 10 (das Doppelte einer Hand)
C steht für 100 (lat. centum)
L steht für 50 (Hälfte von C)
M steht für 1000 ( lat. mille)
D steht für 500 (Hälfte von M)
Die römischen Zahlzeichen werden additiv ihrer Größe nach hintereinander geschrieben. So steht VI für 5+1=6,
XII steht für 10+1+1=12, CLV steht für 100+50+5=155.
Stellt man ein kleineres Symbol vor ein größeres, so wird das kleinere vom größeren subtrahiert. Also steht IV für 5–1=4, IX steht für 10–1=9, CIV steht für 100+(5–1)=104,
MCCXL steht für 1000+100+100+(50–10)=1240.
1. Die Zahlzeichen werden der Größe nach hintereinander geschrieben und addiert.
2. Höchstens eines der Zeichen I, X, C kann vor ein jeweils größeres Zeichen vorangestellt werden. Das kleinere wird dann vom größeren subtrahiert.
3. Die Zeichen I, X, C werden höchstens dreimal, die Zeichen V, L, D höchstens einmal hintereinander geschrieben.
b) Das Dezimalsystem
Im Dezimalsystem geben die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 die Größe der Stelle einer Zahl an, die Zahl selbst kann also aus mehreren Ziffern bestehen.
Die Zahl 23 steht für 2 Zehner und 3 Einer, kurz: 2Z,3E.
Die Zahl 203 steht für 2 Hunderter und 3 Einer, kurz: 2H,3E, 32 steht für 3Z,2E. Die Position der Ziffern ist wichtig!
Die Zehnerpotenzen 10, 100, 1000, 10’000 etc. bezeichnet man in diesem Zusammenhang auch als Stufenzahl.
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… |
Billionen |
Milliarden |
Millionen |
Tausender |
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… |
H |
Z |
E |
H |
Z |
E |
H |
Z |
E |
H |
Z |
E |
H |
Z |
E |
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5 |
0 |
2 |
4 |
1 |
|||||||||||
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1 |
2 |
4 |
0 |
0 |
3 |
0 |
9 |
||||||||
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2 |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
9 |
0 |
1 |
4 |
||
50’241 = fünfzigtausendzweihunderteinundvierzig
12’400’309 = zwölf Millionen vierhunderttausenddreihundertneun
2’103’000’009’014 = zwei Billionen einhundertdrei Milliarden neuntausendvierzehn
1 Million = 1 Mio. = 1’000’000 = 106 engl. million
1 Milliarde = 1 Mrd. = 1’000’000’000 = 109 engl. billion
1 Billion = 1 Bio. = 1’000’000’000’000 = 1012 engl. trillion
1 Billiarde = 1’000’000’000’000’000 = 1015 engl. quadrillion
1 Trillion = 1’000’000’000’000’000’000 = 1018 engl. quintillion
12’400’309 = 12 Mio. 400 T. 309
2’103’000’009’014 = 2 Bio. 103 Mrd. 9 T. 14
Beim Runden einer Zahl auf eine Stelle entscheidet die Ziffer der nächst kleineren Stelle. Ist sie eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird die Zahl abgerundet, ist sie eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird sie aufgerundet. Man verwendet das Zeichen „≈“ (ungefähr).
Rundet man 58’163 auf Z, so wird abgerundet: 58’163 ≈ 58’160,
Rundet man auf H, so wird aufgerundet: 58’163 ≈ 58’200,
Rundet man auf ZT, so wird aufgerundet: 58’163 ≈ 60’000,
Rundet man auf Mio, so wird abgerundet: 58’163 ≈ 0Mio., etc.
1.3 Zahlenmenge
Zahlen mit gemeinsamen Eigenschaften werden zu Zahlenmengen zusammengefasst. Man schreibt dafür „{_;_;_;_}“.
Die Menge ℕ={1;2;3;4…} heißt Menge der Natürlichen Zahlen. Die Zahl 0 gehört nicht dazu, kurz 0∉ℕ (Null ist kein Element der Menge ℕ). Entsprechend gilt z.B: 12∈ℕ.
Weitere Zahlenmengen:
Ist eine Zahl nur durch sich selbst und durch 1 teilbar, heißt sie Primzahl. Die Zahl 1 ist also keine Primzahl. Die Menge der Primzahlen ist {2;3;5;7;11;13;17;19;23;…}
Die Menge der Quadratzahlen ist {1;4;9;16;25;36;49;…}.
Die Menge aller Teiler von 24 ist T24={1;2;3;4;6;8;12;24}, die Menge aller Vielfachen von 5 ist V5={5;10;15;20;25;…}.
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