5. Multiplikation und Division

5.1 Multiplikation und Division mit ganzen Zahlen

„Jägerchor“ aus »Der Freischütz«, Carl Maria von Weber 1821

1.Takt:

Ein Bruch wird mit einer ganzen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der ganzen Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt.

Es ist auch möglich, den Zähler beizubehalten und den Nenner durch die ganze Zahl zu dividieren.

mit a,b,c∈ℚ und b≠0

In einem Wasserkrug befinden sich l Wasser. Wieviel Wasser befindet sich in jedem Glas, wenn wir das Wasser gleichmäßig auf fünf Gläser aufteilen?

Ein Bruch wird durch eine ganze Zahl dividiert, indem man den Zähler durch die ganze Zahl dividiert und den Nenner unverändert lässt.

Es ist auch möglich, den Zähler beizubehalten und den Nenner mit der ganzen Zahl zu multiplizieren.

mit a,b,c∈ℚ und b,c≠0

5.2 Multiplikation von Brüchen

Bsp.1
Bsp.2

Auf einer 6 m langen und 1 m breiten Fläche soll ein Gehsteig dieser Form verlegt werden. Welche Maße dürfen die Platten haben, welche Bemaßung hat die größte Fläche und wieviel Stück jeder Bemaßung müsste man bestellen?

Sei a die Länge der Platten in cm und b die Breite in cm.
Dann gilt: , also
                   
also:

mögliche Bemaßungen:

Die Bemaßung 0,50 m ⨯ 0,25 m hat die größte Fläche.
: 3m² werden auf 25 Platten aufgeteilt, also werden 6m² auf 50 Platten aufgeteilt.
: 3m² werden auf 24 Platten aufgeteilt, also werden 6m² auf 48 Platten aufgeteilt.
: 3m² werden auf 25 Platten aufgeteilt, also werden 6m² auf 50 Platten aufgeteilt.

Als Regel gilt: mit a,b,c,d∈ℚ und b,d≠0

Zwei Brüche werden multipliziert, indem man die beiden Zähler und die beiden Nenner miteinander multipliziert.

5.3 Division von Brüchen

Ein Weinhändler möchte seinen Weintank reinigen. Es befinden sich noch 4,5 l in seinem Tank. Wieviel l-Flaschen muss er abfüllen?
A: Er füllt 6 Flaschen.

Durch einen Bruch dividiert man, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert.

mit a,b,c,d∈ℚ und b,c,d≠0

5.4 periodische Dezimalzahlen

1:6 = 0,166…
        10 ← Rest 1
      – 6
         40 ← Rest 4
      – 36
            4 ← Rest 4 wiederholt sich

Wiederholt sich beim Divisionsverfahren ein Rest, ist die Dezimalzahl ab dem ersten Auftreten dieses Restes periodisch.

Wichtige periodische Dezimalzahlen:

Eine echt periodische Dezimalzahl wandelt man in einen Bruch um, indem man die Periode in den Zähler schreibt und so viele Neunen wie Periodenstellen in den Nenner.

5.5 Vorteilhafte Verwendung von Rechenregeln

Assoziativgesetz:    

Kommutativgesetz:    
   
Distributivgesetz:

5.6 Multiplikation von Dezimalzahlen

1. Multipliziere die Faktoren ohne Berücksichtigung der Kommata.
2. Setze das Komma so, dass das Ergebnis genauso viele Dezimalstellen hat, wie die Faktoren alle zusammen.

Beispiel Tanken:
:          
45,5l · 1,70 = 77,35 €      45,5l · 1,56 = 70,98 €
        31850                                        2730
   + 45500                                      22750
        77350                                 + 45500
                                                         70980

5.7 Division von Dezimalzahlen

Seefahrt: 1 sm entspricht 1 Bogenminute auf dem Erdumfang
     
also gilt: (1,8523215 km)
                             – 21600
                                184032 ← Komma setzen !!
                             – 172800
                                    112320
                               – 108000
                                       43200
                                    – 43200

Hamburg: 53°33’N 9°58’E       Helgoland: 54°11’N 7°54’E       Distanz: 239,834 km
Wie lange dauert die Überfahrt von Hamburg nach Helgoland, wenn die Fähre im Durchschnitt 35 kn fährt?
Wie lange benötigt eine Segelyacht, die durchschnittlich 8,75 kn zurücklegt?

239,834 km : 1,852 =
= 239834 km : 1852 = 129,5sm
 – 1852
     5463
  – 3704
      17594
  – 16668
         9260 ← Komma setzen !!
      – 9260

   129,5 sm : 35 kn = 3,7 h
– 105
     245 ← Komma setzen !!
  – 245

129,5 sm : 8,75 kn =
= 12950 sm : 875 kn = 14,8 h
  – 875
     4200
  – 3500
        7000 ← Komma setzen !!
     – 7000

Die Fähre benötigt 3,7 h und die Segelyacht 14,8 h.

1. Verschiebe die Kommata beider Zahlen so weit nach rechts, bis der Divisor eine natürliche Zahl ist.
2. Dividiere nun wie bei der Division natürlicher Zahlen und setze beim Überschreiten des Kommas im Dividenden auch im Ergebnis das Komma.

5.8 Vermischte Textaufgaben zu Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen und Dezimalzahlen

Sabine muss für Ihre Geburtstagsfeier Getränke einkaufen. Sie kauft die Hälfte aller Flaschen, nämlich Apfelsaft, zu je 49 ct. Die andere Hälfte der Getränke besteht zu einem Drittel aus Orangensaft zu je 59 ct sowie aus 6 Wasserflaschen zu je 19 ct.
Wie viele Orangensäfte kauft Sabine?
Wieviel muss sie insgesamt bezahlen?

Es muss gelten: , also Orangensaft:
Sabine kauft 3 Flaschen Orangensaft und muss insgesamt 7,32 € bezahlen.

Yann kauft ein neues Fahrrad. 20% des Kaufpreises hat er selbst gespart. Die Hälfte des Kaufpreises steuert sein Vater bei. Die restlichen 150€ schenkt ihm seine Tante Beate.
Wie viel kostete das Fahrrad?
Sei x der Kaufpreis des Fahrrades.
, also , und damit:

S.74/12
Sei x die Anzahl der Parlamentssitze
,
Es muss gelten: und damit .
Das Parlament hat 600 Sitze.

S.91/26
Sei x die Höhe der Selbstkosten.
Er macht einen Gewinn in Höhe von seiner Selbstkosten.

S.91/27
Sei x die Länge des Pfahls.
, Es muss gelten: , also . Damit gilt: . Der Pfahl ist 4,50 m lang.