5.1 Grundbegriffe

5.2 Lösen von Gleichungen

Äquivalenzumformungen

Die Addition bzw. Subtraktion desselben Terms auf beiden Seiten einer Gleichung ändert die Gleichheit nicht; es ist eine Äquivalenzumformung, kurz:

                            || + T                                  || – T

                                       

Die Multiplikation bzw. Division beider Seiten einer Gleichung mit demselben Term ändert die Gleichheit nicht; es ist eine Äquivalenzumformung, falls der Term nicht null ist, kurz:

       ||         ||     

                                    

Systematik

Eine lineare Gleichung – die Unbekannte kommt nur in der ersten Potenz vor – löst man durch Äquivalenzumformungen in der folgenden Reihenfolge:

1. Vereinfachen
2. Addieren / Subtrahieren
3. Multiplizieren / Dividieren (nicht mit/durch Null)
4. Probe und Angabe der Lösungsmenge

Produkte mit dem Wert null

Wenn in einem Produkt mindestens ein Faktor null ist, so hat das Produkt den Wert null. Wenn ein Produkt den Wert null hat, so ist mindestens ein Faktor null.

                 ,

 , also muss gelten:   v   und damit:   v  . Es ist dann

 =>  =>  also

Quadratische Gleichungen muss man so umformen, dass ein Produkt gleich null sein soll. Die Lösungen für die Unbekannte ergeben sich daraus, dass jeder Faktor null sein kann.

                 
                            
                                      v
                                               v
                                     

5.4 Textaufgaben

1. Festlegung der Unbekannten (Variablen)
2. Übersetzen des Textes und Aufstellen der Gleichung
3. Lösen der Gleichung und Probe im Kopf
4. Antwortsatz

a) Verteilungsaufgaben

Ein Vermögen von 14’000 € soll an drei erbberechtigte Kinder in folgender Weise aufgeteilt werden: Der Sohn erhält zum Ausgleich für die Kosten seiner Ausbildung 3’000 € weniger als die jüngere Tochter, die ältere Tochter als Entschädigung für ihre Mithilfe im Haushalt 2’000 € mehr als diese.

Sei j die Erbschaft der jüngeren Tochter, s die Erbschaft des Sohnes und a die Erbschaft der älteren Tochter
Sohn:
ältere Tochter:
Zusammen:
 



A: Der Sohn erhält 2’000 €, die ältere Tochter bekommt 7’000 € und die jüngere Tochter erbt 5’000 €.

b) Bestimmung von Zahlen

Vermehrt man eine Zahl um 16, so erhält man um 2 weniger als ihr Dreifaches. Wie heißt sie?

Sei x die Zahl



A: Die gesuchte Zahl lautet 9.

Die Zehnerziffer einer zweistelligen Zahl ist um 2 kleiner als die Einerziffer. Die ganze Zahl ist 6mal so groß wie die Einerziffer. Wie heißt die Zahl?

Sei z die Zehnerziffer, Sei e die Einerziffer
Einerziffer: Zehnerziffer:


oder
oder
,
A: Die gesuchte Zahl lautet 24.

c) Bestimmung des Alters

Eine Mutter, die jetzt doppelt so alt ist wie ihre Tochter, war vor 11 Jahren dreimal so alt wie diese. Wie alt sind beide jetzt?

Sei t das Alter der Tochter Sei m das Alter der Mutter
oder
oder
oder =>
A: Die Mutter ist jetzt 44 Jahre alt und ihre Tochter 22.

d) Prozentaufgaben

Ein Zwischenhändler verkauft das aus der Fabrik bezogene Tuch mit 15% Gewinn an den Händler, der seinerseits noch 25% Gewinn darauf schlägt. Nun ist der Meter Tuch um
17,50 € teurer als der Fabrikpreis. Wie hoch war dieser?

Sei f der Fabrikpreis




A: Der Meter Tuch kostet ab Fabrik 40,00€.

e) Mischungsaufgaben

800g einer 10%igen Sole werden mit 400g Wasser verdünnt. Wieviel % Salz enthält die Mischung?

595g einer 15%igen Zuckerlösung sollen mit einer 8%igen Zuckerlösung so gemischt werden, dass die Mischung 12% Zucker enthält. Wieviel Gramm der zweiten Lösung sind dazu erforderlich?

Sei x die Menge der zweiten Lösung




A: Es sind 446,25g der 8%igen Lösung nötig.

f) Aufgaben aus der Geometrie

Vergrößert man eine Seite eines Quadrats um 2cm, so entsteht ein um 1,22dm² größeres Rechteck. Wie lang ist die Quadratseite?

Sei a die Länge der Quadratseite


=>
A: Die Quadratseite ist 61cm lang.

Verkleinert man die Seite eines Quadrates, so entsteht ein um 11m ² kleineres Rechteck. Wie lang ist die Quadratseite?

Sei a die Länge der Quadratseite



Da a,b ∈ ℕ und a>b, muss gelten: ,
A: Die Quadratseite ist 11m lang.

Verdoppelt man eine Seite eines Quadrats und verkürzt die andere Seite um 2m, so hat das entstandene Rechteck gleichen Flächeninhalt wie das Quadrat. Wie lang ist die Quadratseite?

Sei a die Länge der Quadratseite


=>
A: Die Quadratseite ist 4m lang.

Beachte : In der Geometrie gibt es weder Strecken noch Flächen mit negativer Größe; der Definitionsbereich für manche Variablen ist daher eingeschränkt.

g) Leistungsaufgaben

Ein Gasherd mit zwei Brennern wird aus einer Propangasflasche gespeist. Mit einer Füllung kann der eine Brenner 30Std., der andere 20Std. bei voller Flamme versorgt werden. Wie lange reicht der Flascheninhalt, wenn beide Brenner gleichzeitig in Betrieb sind?

Der erste Brenner verbraucht in 1Std. der Flasche.
Der zweite Brenner verbraucht in 1Std. der Flasche.
Zusammen:
A: Die Flasche ist nach 12Std. leer.

Beachte : Bestimme stets die einzelnen Lieferungen bzw. die jeweiligen Verbräuche in einem bestimmten Zeitintervall. Die Summe der Einzelwerte liefert dann das gesuchte Ergebnis.