3.1 Negative Zahlen

• Thermometer: Bei Temperaturen unter 0°C gefriert Wasser.
• Physische Karte: Regionen unterhalb des Meeresspiegels
• Bilanz: Gewinne und Verluste
• Konto: Guthaben und Schulden

Erweiterung des Zahlenstrahls zur Zahlengerade:

Die Negativen Zahlen werden an der Zahlengerade links von Null angetragen. Zur Unterscheidung wird ihnen ein „–“ vorangesetzt. Die Natürlichen Zahlen ℕ heißen auch Positive Zahlen und erhalten ein „+“ voran. Die Menge der Positiven und Negativen Zahlen sowie Null heißt »die Menge der Ganzen Zahlen« ℤ. Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ.

Der Abstand einer Ganzen Zahl a von der Zahl 0 heißt Betrag von a, kurz: |a|. Zwei Zahlen mit gleichem Betrag aber verschiedenem Vorzeichen heißen Gegenzahlen.

Koordinatensystem:

Jeder Punkt P lässt sich durch ein Zahlenpaar (x_P|y_P) darstellen. x_P ist die x-Koordinate von P auf der x-Achse (Abszisse) und y_P ist die y-Koordinate von P auf der y-Achse (Ordinate).

3.2 unbegrenzte Subtraktion

Addition:

3 + 3 = 6

Starte beim ersten Summanden und schreite gemäß dem Wert des zweiten Summanden nach rechts.

Subtraktion:

5 – 8 = –3

Starte beim Minuend und schreite gemäß dem Wert des Subtrahenden an der Zahlengeraden nach links.

Ist der Subtrahend größer als der Minuend, so ist der Wert der Differenz negativ, ihr Betrag ist die Differenz aus Subtrahend und Minuend.

3.3 Addieren Ganzer Zahlen

Einnahmen und Guthaben sind positive Werte

Ausgaben und Schulden sind negative Werte

Metzger Bieler hat ein Guthaben von 150€. Er kauft für 50€ Waren und für 120€ eine Maschine, dann nimmt er noch 200€ ein. Wie viel Geld hat er nun?

(+150€)+(–50€)+(–120€)+(+200€)=(+350€)+(–170€)=+180€

Maler Klüver hat einen Kontostand von –140€. Er nimmt 50€ ein, kauft für 80€ Farbe, bezahlt einen Gehilfen mit 200€ und erhält für seine Arbeit 400€. Wie hoch ist nun sein Kontostand?

(–140€)+(+50€)+(–80€)+(–200€)+(+400€)=
=(+450€)+(–420€)=+30€

Zuerst werden alle Guthaben und Einnahmen addiert. Dann werden alle Schulden und Ausgaben addiert. Danach ermittelt man das Ergebnis.

Regeln für die Addition Ganzer Zahlen:

1. Gleiches Vorzeichen:

Addiere die Beträge und setze vor die Summe das gemeinsame Vorzeichen der Summanden.

2. Verschiedenes Vorzeichen:

Subtrahiere vom größeren Betrag den kleineren und setze vor die Differenz das Vorzeichen des betragsgrößeren Summanden.

3.4 Subtrahieren Ganzer Zahlen

Elektriker Funke verfügt über 60€. Er gibt 100€ aus für Werkzeug, erstattet 130€ wegen Reklamation und nimmt noch 250€ ein. Wie viel Geld hat er nun?

(+60€)+(–100€)–(+130€)+(+250€)=
=(+310€)+(–230€)=+80€

Installateur Baar hat –130€ Schulden. Er storniert daher einen Einkauf über 90€, nimmt noch 60€ für seine Arbeit ein und erstattet noch 50€. Wie viel Geld hat er nun?

(–130€)–(–90€)+(60€)–(+50€)=(+150€)+(–180€)=–30€

Addition einer negativen Zahl:

Starte beim ersten Summanden und schreite gemäß dem Wert des zweiten Summanden nach links.

Subtraktion einer negativen Zahl:

Starte beim Minuend und schreite gemäß dem Wert des Subtrahenden an der Zahlengeraden nach rechts.

Regeln für die Subtraktion Ganzer Zahlen:

Das Subtrahieren einer Ganzen Zahl ist identisch mit dem Addieren ihrer Gegenzahl.