5.0 Grundlagen

a) Matrix

Da letztlich nur die Koeffizienten die Lösung eines Gleichungssystems bestimmen, lassen sich diese kurz in einer erweiterten Matrix darstellen.

           ^{als Matrix:}  

b) Determinante

Eine Determinante ist quasi ein allgemeines Lösungsverfahren für eine Matrix. Es gibt sie aber nur für quadratische Matrizen.

Hauptdeterminante:
         
Nebendeterminanten:

Lösungen:     , , =>

Für 2×2-Determinanten gilt:

c) Punkt, Vektor

Liegt der Fuß eines Vektors im Ursprung, so heißt er Ortsvektor: . Die Werte seiner Komponenten sind folglich identisch mit den Koordinaten des Zielpunktes .

Daher sind Ortsvektoren fast synonym für Punkte.

5.1 Vektorraum, Lineare Unabhängigkeit

a) Vektorraum

Eine Menge V von Vektoren heißt Vektorraum, wenn die Vektoren das A- und K-Gesetz, neutrales und inverses Element sowie die S-Multiplikation erfüllen.

Anmerkung:

Die Menge aller ganzrationalen Funktion ist ein Vektorraum.

Die Basis eines Vektorraumes ist eine bestimmte Menge von Vektoren, aus denen sich alle anderen durch Kombination darstellen lässt. Die Anzahl der Elemente einer Basis nennt man Dimension des Vektorraumes.

Im Weiteren beschränken wir uns auf den Vektorraum ℝ³ mit der kanonischen Basis , dim ℝ³ = 3.

b) Lineare Unabhängigkeit

Der Vektor heißt Linearkombination der Vektoren ℝ³ mit ℝ.

Die Vektoren heißen linear abhängig, wenn mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellbar ist. Ansonsten heißen sie linear unabhängig.

Folgerungen:

• Basisvektoren sind immer linear unabhängig.
• Eine Menge von Vektoren mit dem Nullvektor ist immer linear abhängig.
• Im ℝ³ kann nur eine Menge mit maximal drei Vektoren linear unabhängig sein.
• Ist die Anzahl der Vektoren größer als die Dimension des Vektorraumes, sind sie zwangsläufig linear abhängig.
• Jede Menge von drei linear unabhängigen Vektoren kann als Basis für den Vektorraum ℝ³ dienen.

Anmerkung:

• Sind die Vektoren linear unabhängig , so gilt:
• Für abhängige Vektoren gilt:

5.2 Geraden

Eine Gerade g lässt sich durch einen Aufpunkt A und einen Richtungsvektor festlegen. Für alle Punkte X der Geraden gilt dann: , ℝ (Parameterform).

Ein spezieller Punkt der Geraden ergibt sich durch die Wahl des Parameters λ: z.B. für gilt: .
Dies bedeutet für die Koordinatenschreibweise:  

Ein Punkt P liegt dann auf einer Geraden g, wenn jede Gleichung der Koordinatenschreibweise als Lösung dasselbe Skalar ℝ hat:

Anmerkung:

Ist statt des Richtungsvektors ein weiterer Punkt B gegeben, so errechnet sich jener durch: . Es gilt dann: , ℝ (Zwei-Punkte-Form).

Folgerungen:

• Zwei Geraden und sind parallel, , wenn , also und linear abhängig.
• Zwei Geraden g und h sind identisch, g ≡ h, wenn und linear abhängig sind und B ∈ g bzw. A ∈ h.
• Zwei Geraden g und h heißen windschief (nur im ℝ³), wenn g ∦ h und sie sich nicht schneiden.
• Zwei Geraden g und h heißen senkrecht, g ⊥ h, wenn , also . Sie können im ℝ³ auch windschief sein.
• Zwei Geraden g und h schneiden sich, wenn in einer Ebene liegen, also .

Beispiel:

   ^{und  
, also somit:}

5.3 Ebenen

Eine Ebene E lässt sich durch einen Punkt A und zwei unabhängige Richtungsvektoren festlegen. Für alle Punkte X der Ebene gilt dann: , ℝ (Parameterform).

Ein spezieller Punkt der Ebene ergibt sich durch die Wahl beider Parameter λ, μ, also:

Anmerkungen:

• Sind statt der Richtungsvektoren zwei weitere Punkte B und C gegeben, so gilt: , ℝ (Drei-Punkte-Form).
• Eliminiert man die Parameter l und m, so erhält man die Koordinatendarstellung . Dazu wählt man als Ansatz: _{. Die Koeffizienten sind die Koordinaten des Normalenvektors n zur Ebene E.}

Folgerungen:

• Zwei Ebenen und sind parallel, , wenn und zugleich linear abhängig sind bzw. wenn .
• Zwei Ebenen E und F sind identisch, E ≡ F, wenn E ∥ F und B ∈ E bzw. A ∈ F.
• Zwei nichtparallele Ebenen schneiden sich immer in einer Geraden.

Beispiele:

Um die Schnittgerade g zweier Ebenen E und F zu berechnen, ist es am besten, eine Ebene in Parameterform, die andere in Koordinatenform vorliegen zu haben:
^,
         
E ∩ F : , also in E :

Ist eine Ebene in Koordinatenform gegeben, so erhält man durch die Schnitte mit den Koordinatenachsen ganz einfach drei Punkte, z.B.
, , , also

Eine Ebene E lässt sich durch einen Punkt A und den Normalenvektoren festlegen. Für alle Punkte X der Ebene gilt dann: , (Vektorform).

Berechnet man das Skalarprodukt, erhält man die Koordinatendarstellung . Dabei gilt für den Normalenvektor auch . normiert:

Hesse’sche Normalenform (HNF):
bzw. mit

5.4 Ebene und Gerade

• Eine Gerade ist parallel zur Ebene E, g ∥ E, wenn linear abhängig sind.
• Eine Gerade g liegt in der Ebene E, g ∈ E, wenn g ∥ E und C ∈ E.
• Eine Gerade g und die Ebene E schneiden sich im Punkt S, g ∩ E = {S}, wenn linear unabhängig sind. Dabei gilt g ⊥ E, wenn .

Schnitt von Gerade und Ebene:

und

g in E : => ,
in g : alternativ:

Lot l auf die Gerade g durch den Punkt P:

und

Man stellt die Ebene E ⊥ g mit P ∈ E auf: , also

E , P in E: , also

g ∩ E : , also somit , also , ℝ

Koordinatenachsen:          „Basisebenen“:

x₁-Achse: , ℝ, x₁x₂-Ebene:

x₂-Achse: , ℝ, x₁x₃-Ebene:

x₃-Achse: , ℝ, x₂x₃-Ebene:

 

5.5 Abstände, Winkel

a) Punkte

• Abstand zweier Punkte A und B:
• Abstand eines Punktes P zur Geraden g:
  1. Ebene E ⊥ g mit P ∈ E => n₀.
  2. g ∩ E => λ, also F ∈ g,E
  3. =>
• Abstand eines Punktes P zur Ebene E:
  (HNF) oder:

b) Geraden

• Abstand zweier Geraden g und h:
  1. Ebene E mit g, ∈ E
     
  2. =>
• Winkel zwischen zwei Geraden g und h:
  1. g ∩ h ≠ {} (Schnittpunkt!)
  2. => ∢(g,h) = ∢

  cos∢

c) Ebenen

• Abstand zweier Ebenen E und F:
  1. E ∥ F
  2. => d(E,F) = d(B,E) = d(A,F)
• Winkel zwischen zwei Ebenen E und F:
  1. E ∦ F (Schnittgerade!)
  2. => ∢(E,F) = ∢

d) Ebene und Gerade

• Abstand von Gerade g zur Ebene E:
  1. g ∥ E
  2. => d(g,E) = d(A_g,E)
• Winkel zwischen Gerade g und Ebene E:
  
  ∢(g,E) = 90° – ∢        [sin∢(g,E) = ∢]