4.1 Hypothesentests

Ist bei einem statistischen Problem die Wahrscheinlichkeit unbekannt, aber gibt es zwei Hypothesen H₀ und H₁ zu dieser Wahrscheinlichkeit, dann wird die Nullhypothese H₀ über eine Stichprobe vom Umfang n getestet.

Liegt diese im Ablehnungsbereich K, so wird H₀ verworfen und die Gegenhypothese H₁ angenommen; liegt die Stichprobe im Annahmebereich , so wird H₀ als richtig angenommen.

Beispiel:

Ein Spieler behauptet, er verwandle zu 70% einen Elfmeter. Seine Mitspieler glauben, die Wahrscheinlichkeit ist geringer.

Nullhypothese H₀ : p₀ = 0,7          Gegenhypothese H ₁ : p₁ < 0,7

Stichprobe: Der Spieler schießt n = 5 Elfmeter. (m = 3,5)

Annahmebereich Ablehnungsbereich

Anmerkung:

• Dabei können zwei Fehler auftreten:
1. Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist. (Fehler 1.Art α)
2. Die Nullhypothese wird angenommen, trotz dessen sie falsch ist. (Fehler 2.Art β)
• Beide Fehler haben stets unterschiedliche Gewichtung. Eine Verkleinerung des einen durch einen geänderten Bereich K bewirkt immer eine Vergrößerung des anderen. 
• Nur ein größerer Stichprobenumfang n kann beide gleichzeitig verringern.

         
Da die Breite der Verteilung an der Standardabweichung s hängt und diese nur mit steigt, wird sie – relativ gesehen – schmäler mit steigendem Stichprobenumfang n. Damit trennen sich auch die Bereiche von H ₀ und H₁.

Die Trennung der Bereiche von H₀ und H₁ durch eine größere Stichprobe vom Umfang n reduziert somit auch die Fehler
1.Art α und Fehler 2.Art β. Um den Fehler 2.Art β konkret berechnen zu können, muss man für H₁ : p₁ einen Wert wählen.

4.2 Einseitiger Signifikanztest

Bei einem Signifikanztest wird für den Fehler 1.Art, also die fälschliche Ablehnung der Hypothese H₀, eine Obergrenze vorgegeben. Entsprechend dieses Signifikanzniveaus a ist der Ablehnungsbereich K zu wählen.

Für H₀ : p₀ = p und H₁ : p₁ > p nennt man ihn rechtsseitigen,
für H₀ : p₀ = p und H₁ : p₁ < p linksseitigen Signifikanztest.

Standardabfolge:

• Bestimmung der Zufallsgröße X und des Umfangs n
• Formulierung der Hypothesen H₀ : p₀ und H₁ : p₁
• Festlegung des Signifikanzniveaus a
• Bestimmung des Ablehnungsbereichs K
  Beispiel Rechtsseitiger Test: ist so zu wählen, dass , also .

Anmerkung:

Da bei diesen Tests p₀ stets gleich bleibt, sind sie binomial verteilt, also gilt und .
Damit lässt sich der Ablehnungsbereich grob abschätzen:
α = 5%: , also „“
α = 2%: , also „“
α = 1%: , also „“
exakt: α = 5%: 1,96σ,          α = 1%: 2,58σ,          α = 0,1%: 3,29 σ