3.0 Grundlagen

a) Definition

Wahrscheinlichkeitsverteilung P:A ↦ P (A) mit A ⊆ Ω:

Axiom I:
Axiom II:
Axiom III: Für gilt:

Bezeichnung:

• Zwei Ereignisse A und B sind disjunkt, wenn A∩B = {}

b) Laplace-Experiment

Haben alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, so gilt: für alle 1 ≤ i ≤ n.

c) Additionssatz

, falls paarweise disjunkt für alle 1 ≤ i ≤ k.

allgemein:

d) Unabhängigkeit

Beeinflusst das Auftreten eines Ereignisses A das Auftreten des Ereignisses B nicht, so nennt man A und B unabhängig.

, falls paarweise unabhängig für alle 1 ≤ i ≤ k.

e) Kombinatorik (bei mehrstufigen Zufallsexperimenten)

• Variationen (mit Reihenfolge) mit Zurücklegen: k-faches Ziehen aus n Elementen => n^k Möglichkeiten
• Variationen (mit Reihenfolge) ohne Zurücklegen; k ≤ n: Aufteilen von k auf n Elemente => Möglichkeiten
• *Kombinationen (ohne Reihenfolge) mit Zurücklegen: => Möglichkeiten (nur zur Vollständigkeit)
• Kombinationen (ohne Reihenfolge) ohne Zurücklegen; k ≤ n: Austeilen von Kugeln => Möglichkeiten

f) Bedingte Wahrscheinlichkeit, Vierfeldertafel

Definition:

	A
B

3.1 Zufallsgröße und Verteilung

Eine Zufallsgröße X meint einen messbaren Zahlenwert eines Zufallsexperimentes, der jedem Ereignis eindeutig zugeordnet werden kann. Kann sie nur endlich viele einzelne Werte annehmen, heißt sie diskret, bei kontinuierlichen Werten stetig.

Anmerkung:

Die Zufallsgröße lässt sich daher auch als Funktion mit ω ∈ Ω und x_i ∈ ℝ auffassen. Dabei geht meist die Information über die Reihenfolge verloren.

Kann bei einem Zufallsexperiment die Zufallsgröße X die Werte x₁, x₂, x₃, … x_n annehmen, so ordnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion P jedem x_i einen Wert p_i zu, kurz:  mit .

Die Verteilungsfunktion F kumuliert alle Wahrscheinlichkeiten bis p_k, also mit x_i ∈ ℝ und 1 ≤ k ≤ n.

Bei diskreten Zufallsgrößen ist sie eine Treppenfunktion.

Beispiel 1:

Für einen vorteilhaften Würfel gelte:

	1	2	3	4	5	6

Am besten stellt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion P als Säulendiagramm dar:

Die Sprünge der Verteilungsfunktion F sind genau die Werte .

Sie erreicht immer den Wert 1.

3.2 Erwartungswert, Varianz

Der Erwartungswert gibt an, welchen Wert die Zufallsgröße im Mittel annehmen wird, kurz:

Anmerkungen:

• Im Allgemeinen muss die Zufallsgröße den Erwartungswert nicht annehmen können.
• Ein Spiel gilt als fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist.
• Für eine Zufallsgröße gilt und für eine Zufallsgröße gilt, falls X und Y unabhängig sind, .

Die Varianz gibt an, wie stark die Abweichungen der Zufallsgröße vom Erwartungswert ausfallen, kurz:

Anmerkungen:

• Die Varianz ist eigentlich immer positiv.
• Große Abweichungen, auch wenn unwahrscheinlicher, wirken sich stärker aus als kleine.
• Die Standardabweichung gibt die mittlere Abweichung an.

Für Beispiel 1 gilt somit:

Beispiel 2: ein fairer Würfel wird einmal geworfen:

                

Beispiel 3: die Augensumme zweier fairer Würfel wird betrachtet:

                   

3.3 Kombinatorik

Die Kombinatorik untersucht die verschiedenen Möglichkeiten der Anordnung von Gegenständen.

Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit m₁, m₂, … m_k Elementen, so gibt es Möglichkeiten.
»Ziehen mit Zurücklegen«: Das Ergebnis bleibt in der Ergebnismenge erhalten, also liegt stets die gleiche zugrunde.
»Ziehen ohne Zurücklegen«: Das Ergebnis wird aus der Ergebnismenge genommen, sie verkleinert sich entsprechend.

a) Variationen (mit Reihenfolge) mit Zurücklegen:

k-faches Ziehen aus n Elementen => n^k Möglichkeiten
Dieses Experiment lässt sich beliebig oft wiederholen. Dabei bleibt die Ergebnismenge immer gleich und somit auch die Wahrscheinlichkeiten.

b) Variationen (mit Reihenfolge) ohne Zurücklegen; k ≤ n :

Aufteilen von k auf n Elemente => Möglichkeiten
Dieses Experiment lässt sich höchstens n-mal wiederholen. Jeder Zug ist zwar zufällig, doch ändern sich entsprechend die Ergebnismenge und auch die Wahrscheinlichkeiten.

c) Kombinationen (ohne Reihenfolge) mit Zurücklegen:

[nur zur Vollständigkeit] => Möglichkeiten

d) Kombinationen (ohne Reihenfolge) ohne Zurücklegen; k ≤ n :

Austeilen von Karten => Möglichkeiten
Hierunter fällt auch das gleichzeitige Ziehen mehrerer Kugeln aus einer Urne.
Mit Reihenfolge wären es Möglichkeiten, aber nun muss man noch die k! Variationen mit gleicher Anzahl herausrechnen. Man definiert den Binomialkoeffizienten:

„k aus n“ oder „n über k“ : , k ∈ ℕ₀, n ∈ ℕ.

Anmerkung:

• Viele Taschenrechner können den Binomialkoeffizienten mit der nCr –Taste berechnen: nCr
• Für die Variationen gibt es die nPr –Taste: nPr
• 
  

 

 

Urnen-Modell

In einer Urne befinden sich N Kugeln, darunter S schwarze. Im Folgenden interessieren wir uns für die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter n gezogenen Kugeln s schwarze befinden; wir schreiben dafür kurz: . Wir unterscheiden nun:

• Ziehen ohne Zurücklegen

Man denke sich die Kugeln unterscheidbar. So gibt es Möglichkeiten, n Kugeln aus der Urne zu ziehen. Für die s schwarzen Kugeln gibt es somit und Möglichkeiten für die übrigen nicht-schwarzen. Also folgt:

• Ziehen mit Zurücklegen

Da sich der Ergebnisraum nicht ändert, ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer schwarzen Kugel immer gleich und wir schreiben dafür kurz: und für das Ziehen einer nicht-schwarzen Kugel. Da es Möglichkeiten gibt, bei n gezogenen Kugeln s schwarze zu ziehen, gilt:

3.4 Bernoulli-Experiment, Binomialverteilung

Wird ein Zufallsexperiment n-Mal unabhängig voneinander ausgeführt und hat das Auftreten eines Ereignisses A stets die gleiche Wahrscheinlichkeit , so spricht man von einem Bernoulli-Experiment der Länge n. Somit ist die Wahrscheinlichkeit jeder Kombination für k Treffer und n–k Nieten immer unabhängig von der Position der Treffer.

Damit gilt: . (Urne: Ziehen mit Zurücklegen)

Für ein Bernoulli-Experiment der Länge n gibt die Funktion B(n;p) : ℕ₀ , die Wahrscheinlichkeitsverteilung an und heißt Binomialverteilung.

Es gilt: , k ∈ {0; 1; 2; … n}.

Anmerkungen:

Die Funktionswerte lassen sich aus dem stochastischen Tafelwerk ablesen. Da B(n ; p) und B(n ; 1–p) zueinander symmetrisch liegen bzgl. der Achse , denn es gilt B(n ; p ; k) = B(n ; 1–p ; n–k), genügt es, die Binomialverteilungen bis p = 0,5 zu führen.
Für die kumulative Verteilungsfunktion schreibt man kurz:

3.5 Modellieren mit der Binomialverteilung

Erwartungswert:

Varianz:

^{[mit i=k-1]}       
Somit folgt:

kurz: ,

Anmerkungen:

Für eine B(n;p)-verteilte Zufallsgröße X gilt für :

Beispiel 1) 10-facher Münzwurf

Beispiel 2) 10-facher Würfelwurf mit