8. Volumen

8.1 Volumenmessung

Die Größe eines Raumes, den ein Körper einnimmt bzw. einschließt, nennt man Rauminhalt oder Volumen. Man schreibt dafür abgekürzt V. (lat.: volumen = Krümmung)

Bisher bekannte Körper:

Volumenbestimmung eines Körpers bedeutet, das Ausfüllen mit Einheitswürfeln als Volumeneinheit und Abzählen. Man verwendet Würfel, da diese einen Raum lückenlos ausfüllen.

Die abgebildeten Körper haben somit das Volumen von 8 bzw. 9 Würfeln.

8.2 Schrägbilder

     
Beim Schrägbild betrachtet man den Körper aus der Front. x-Achse und z-Achse stehen senkrecht aufeinander. Die Frontansicht des Körpers wird direkt übertragen. Die y-Achse wird unter einem Winkel von 45° verkürzt gezeichnet. Die Tiefe wird entlang der y-Achse in Kästchendiagonalen angetragen.

8.3 Volumeneinheiten

Als Volumenmaße benutzt man das Volumen von Würfeln mit Kantenlänge 1m, 1dm, 1cm, 1mm, also 1m³, 1dm³, 1cm³, 1mm³. Lies: Kubikmeter (lat.: cubus = Würfel). Gerne benutzt man auch die Einheit Liter. Es gilt: .

Merke: Die Umrechnungszahl für Volumeneinheiten ist 10³ = 1000.

Vereinzelt verwendet man auch und .

8.4 Quader

Ein Quader mit Länge 4cm, Breite 3cm und Höhe 2cm wird mit Würfeln der Kantenlänge 1cm ausgefüllt. Es passen 4 Würfel nebeneinander, 3 dieser Reihen hintereinander und 2 solche Schichten übereinander, also insgesamt Würfel in den Quader.

Ein Quader mit Länge l, Breite b und Höhe h hat das Volumen .

Der Würfel ist ein besonderer Quader, nämlich mit den Kantenlängen l = b = h = a. Daraus folgt

8.5 Körperoberfläche und Körpernetz

Die Summe der Inhalte aller Begrenzungsflächen eines Körpers nennt man Oberfläche des Körpers. Man schreibt dafür abgekürzt S (lat.: superficies, engl.: surface).

damit gilt für den Würfel:
Von allen Quadern mit gleichem Volumen hat der Würfel die kleinste Oberfläche. Von allen Quadern mit gleicher Oberfläche hat der Würfel das größte Volumen.

8.6 Volumen und Oberfläche von Prismen

Ein Prisma ist ein Körper, dessen identische Grundfläche und Deckfläche parallel zueinander liegen. Sind alle Seitenflächen senkrecht zu Grund- und Deckfläche, heißt es gerades Prisma, ansonsten schiefes Prisma. Hat ein gerades Prisma als Grundfläche ein regelmäßiges n-Eck, so heißt es regelmäßig.

Das Volumen von Prismen lässt sich sowohl durch geeignetes Zerlegen in Quader als auch durch Ergänzen von Quadern bzw. neu zu einem Quader Zusammenfügen berechnen.
Für die Berechnung der Oberfläche von Prismen wird diese in Dreiecke und Vierecke zerlegt und ihre Flächen addiert .

Jedes Prisma lässt sich analog zur Flächenberechnung von n-Ecken in Teilstücke von Quadern gleicher Höhe zerlegen. Es gilt damit: ,

Alle Körper haben die gleiche Tiefe 1m; sie sind daher gerade Prismen.
Ihre Volumina lassen sich durch V_Prisma = Grundfläche · Höhe berechnen.
Ihre Oberflächen lassen sich folgendermaßen berechnen:
S_Prisma = 2 · Grundfläche + Mantelfläche = 2 · Grundfläche + Umfang · Höhe