5.1 Schriftliches Verfahren der Multiplikation

Multipliziere den 1. Faktor mit jeder Ziffer des 2. Faktors unter Berücksichtigung der Position und addiere die Ergebnisse.

5.2 Schriftliches Verfahren der Division

Dividiere die erste Ziffer des Dividenden durch den Divisor ohne Berücksichtigung des Restes. Multipliziere das Ergebnis mit dem Divisor und subtrahiere es vom Dividenden. Hänge an die Differenz die nächste Ziffer des Dividenden an und wiederhole die Prozedur, bis alle Ziffern des Dividenden aufgebraucht sind.

Bleibt nach der Division ein Rest, wird dieser beim Ergebnis vermerkt.

5.3 bekannte Rechenregeln

a) Rechengesetze der Addition:

Assoziativgesetz: (a + b) + c = a + b + c = a + (b + c)
Kommutativgesetz: a + b = b + a         a – b = (–b)  + a
Neutrales Element: a + 0 = a = 0 + a
Inverses Element: a + (–a) = a – a = 0 = (–a) + a

b) Rechengesetze der Multiplikation:

Assoziativgesetz: (a · b) · c = a · b · c = a · (b · c)
Kommutativgesetz: a · b = b · a
Neutrales Element: a · 1 = 1 · a

c) Distributivgesetz:

Ausmultiplizieren (a ± b) · c = a · c ± b · c ←
→ (a ± b) : c = a  : c ± b : c Ausklammern

d) Reihenfolge der Rechnenoperationen

1. Klammer
2. Potenz
3. Multiplikation, Division
4. Addition, Subtraktion
5. von links nach rechts

5.4 Potenzen und Potenzgesetze

a · a =: a²          a · a · a =: a³          a · a · a · a =: a⁴          a¹ := a

Definition:
n-te Potenz von a ∈ ℕ: , n ∈ ℕ mit a⁰ := 1

Rechenregeln für a ∈ ℕ, n,k ∈ ℕ:     aⁿ · a^k = a^n+k          (aⁿ)^k = a^n · k

5.5 Umgang mit Klammern

a) Pluszeichen vor Klammern:

Steht ein Plus vor einer Klammer innerhalb einer Differenz oder Summe, so kann man die Klammer weglassen. Die Rechenzeichen der Klammerglieder bleiben unverändert.

a + (b + c) + (d – e) = a + b + c + d – e

b) Minuszeichen vor Klammern:

Steht ein Minus vor einer Klammer innerhalb einer Differenz oder Summe, so kann man sie auflösen. Dabei werden die Rechenzeichen der Klammerglieder umgekehrt.

a – (b + c) – (d – e) = a – b – c – d + e

c) Klammern mit Vorfaktor:

Steht ein Faktor vor einer Klammer, so multipliziert man den Faktor mit jedem Klammerglied (D-Gesetz). Dabei ist das Vorzeichen des Faktors zu beachten!

a · (b + c – d) – e · (f – g) = ab + ac – ad – ef + eg

d) Schachtelklammern:

Schachtelklammern sollten von innen nach außen aufgelöst werden. Beim Auflösen in umgekehrter Reihenfolge werden die inneren Klammern als einzelne Glieder betrachtet.

a – (b – (c + d) + (e – f)) = a – (b – c – d + e – f) = a – b + c + d – e + f

a – (b – (c + d) + (e – f)) = a – b + (c + d) – (e – f) = a – b + c + d – e + f

5.6 Multiplikation Ganzer Zahlen

a) Multiplikation einer positiven und einer negativen Zahl:

Die Multiplikation lässt sich als Abkürzung einer Addition verstehen. Es gilt somit:
2 · (–3) = (–3) + (–3) = –6,          (–4) · 2 = 2 · (–4) = (–4) + (–4) = –8
Alle Rechenregeln sollen nun auch für negative Zahlen gelten, insbesondere a · 0 = 0 = 0 · a für alle a ∈ ℕ.

b) Multiplikation zweier negativer Zahlen:

Es gilt: (–3) · 0 = 0, also auch (–3) · [(+5) + (–5)] = 0. Nach dem Distributivgesetz gilt (–3) · (+5) + (–3) · (–5) = 0, also auch (–15) + (–3) · (–5) = 0. Andererseits gilt (–15) + (+15) = 0, d.h. es muss gelten (–3) · (–5) = +15 wegen der Eindeutigkeit der Multiplikation. Das Produkt zweier negativer Zahlen ist also positiv!

Ein Produkt zweier Faktoren mit gleichem Vorzeichen ist positiv, bei verschiedenem Vorzeichen ist es negativ.
Merkregel: „“ ,     „“ ,     „“ ,     „“

5.7 Division Ganzer Zahlen

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Daher müssen für sie die Vorzeichenregeln der Multiplikation nur umgekehrt betrachtet werden. Es gilt somit:

Ein Quotient aus Dividend und Divisor mit gleichem Vorzeichen ist positiv, bei verschiedenem Vorzeichen negativ.
Merkregel: „“ ,     „“ ,     „“ ,    „“