7.1 Definition

Kolmogorow definierte für den Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P) die Wahrscheinlichkeitsverteilung P:A ↦ P (A) mit A ⊆ Ω und P(A)∈ℝ⁺ durch folgendes Axiomensystem:

• Axiom I:   P(A) ≥ 0
• Axiom II:  P(Ω) = 1
• Axiom III: Für A ∩ B = {} gilt: P(A ⋃ B) = P(A) + P(B)

Folgerungen:

• P(A) ≤ 1, P({}) = 0
• Es gibt mindestens ein Ereignis A mit P(A) > 0
• Gegenereignis:
• sowie

Bezeichnung:

• Zwei Ereignisse A und B sind disjunkt, wenn A∩B = {}

7.2 Mengenlehre

Fasst man Ω = {ω₁, ω₂,ω₃, …} als Ergebnismenge auf, so sind ω ₁, ω₂, ω₃, …, Elementarereignisse. Ein Ereignis A tritt dann ein, wenn ein Ergebnis ω_i∈A einer Teilmenge A der Ergebnismenge Ω, kurz A⊂Ω, eintritt.

Elementarereignisse sind per se disjunkt, unterliegen also Axiom III.

Empirisches Gesetz der großen Zahlen:

Bei einem Zufallsexperiment tritt jedes Ergebnis ω_i mit einer Wahrscheinlichkeit P(ω_i) auf. Mit steigender Versuchsanzahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit der Ergebnisse h(ω_i) und nähert sich der Wahrscheinlichkeit an: .

Haben bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, so nennt man es Laplace-Experiment. Gibt es n Ergebnisse, so gilt: für alle 1 ≤ i ≤ n.

Für die Anzahl der Elemente einer Menge A schreibt man |A|. Bei Ereignissen spricht man auch von Mächtigkeit.

Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gilt beim Laplace-Experiment: . Damit gilt: .

Verschiedene Mengenoperatoren:

• Gegenereignis: (nicht)
• Schnittmenge: (und)
• Vereinigung: (oder)
• Differenz: A\ (ohne)
• Gesetze von de Morgan:
  (weder noch)
  (nicht beide)
• (entweder … oder)
• Teilmenge: A⊂B für alle ω_i∈A gilt auch ω_i∈B

7.3 Additionssatz

Additionsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

, falls E_i⊂Ω paarweise disjunkt für alle 1≤i≤k.

Sätze für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung

7.4 Unabhängigkeit

Beeinflusst das Auftreten eines Ereignisses A das Auftreten des Ereignisses B nicht, so nennt man A und B unabhängig.

Multiplikationsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

, falls E_i⊂Ω paarweise unabhängig für alle 1≤i≤k.