6.1 Grundlagen der Stochastik

Ein Zufallsexperiment ist das Herbeiführen einer Entscheidung, die nicht beeinflusst werden kann, also zufällig erfolgt.
Bei der Durchführung von Zufallsexperimenten tritt stets genau ein Ergebnis ω₁, ω₂,ω₃, … auf. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge .

Ein Ereignis tritt ein, wenn ein Ergebnis ω ∈ A einer Teilmenge A der Ergebnismenge Ω, kurz A ⊂ Ω, eintritt.

Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Ergebnis haben, kurz: .
Beeinflusst das Auftreten eines Ereignisses A das Auftreten des Ereignisses B nicht, so nennt man A und B unabhängig.

Empirisches Gesetz der großen Zahlen:

Bei einem Zufallsexperiment tritt jedes Ergebnis ω_i mit einer Wahrscheinlichkeit P(ω_i) auf. Mit steigender Versuchsanzahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit der Ergebnisse h(ω_i) und nähert sich der Wahrscheinlichkeit an: .

Haben bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, so nennt man es Laplace-Experiment. Gibt es k Ergebnisse, so gilt: für alle .

Das n-fache Auswählen aus k Objekten hat kⁿ Möglichkeiten, das Anordnen von k Objekten hat k! Möglichkeiten.

6.2 Mehrstufige Zufallsexperimente

Definition: Ein Experiment, welches aus mehreren Teilexperimenten besteht, ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Dabei kann die Ergebnismenge für jedes Teilexperiment verschieden sein.

2-maliges Werfen einer Münze:

Baumdiagramm:

Ergebnismenge der Verfeinerung:

Ergebnismenge der Vergröberung:

Die Verfeinerung unterliegt der Laplace-Annahme, da bei der Vergröberung die Eindeutigkeit der Wahrscheinlichkeit nicht gegeben ist.

6.3 Produkt von Wahrscheinlichkeiten

Die erste Pfadregel: Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert.

Anmerkung:

• Das zweite Ziehen ist vom ersten nicht beeinträchtigt, also unabhängig, außer dass sich die Ergebnismenge ändern kann.
• Ändert sich die Ergebnismenge nicht, so gilt für die Ereignisse mit 1 ≤ i ≤ k der einzelnen Ziehungen: .

6.4 Summe von Wahrscheinlichkeiten

Die zweite Pfadregel: Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten erhält man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade bildet, die zu dem Ereignis gehören, wenn sie disjunkt sind.

Anmerkung:

Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gilt beim Laplace-Experiment: . Damit gilt: .

6.5 Additionssätze für Wahrscheinlichkeiten

Für gilt:

Allgemein gilt: , also

Sätze für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung

6.6 Simulation von Zufallsexperimenten

In realen Situationen lassen sich durch Simulationen Hochrechnungen oder Vorhersagen treffen, insbesondere wenn es sich um kein Laplace-Experiment handelt.

Man sucht ein möglichst einfaches Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Situation. Nun ordnet man jedem Ergebnis eine Entscheidung der realen Situation zu.