6.1 Die natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion f:ℝ→ℝ⁺, mit a∈ℝ⁺ heißt Exponentialfunktion mit der Basis a.

Für die Ableitung der Funktion f gilt an der Stelle x₀: , da existiert.

Es gilt: und

Man definiert nun die Zahl e so, dass wird.

Die Funktion f:ℝ→ℝ⁺, heißt natürliche Exponentialfunktion.

Für diese Zahl e gilt nun: , also der Graph der Funktion ist identisch mit dem Graphen ihrer Ableitung.

Herleitung der Zahl e:

Definiert man eine Funktion y mit , so gilt für auch , denn .

Für die Umkehrfunktion von schreibt man . Damit gilt ,

also , denn sowohl als auch sind streng monotone Funktionen.

Somit gilt aber auch , also mit .

Zusammenhang aus der Finanzmathematik:

Ein Kapital K₀ wird nach 10 Jahren mit 100% Zinsen (ohne Zinseszins) ausbezahlt, also .

Jährlich verzinst, ergibt sich

Monatlich verzinst:

Täglich verzinst:

Stetig verzinst:

Man definiert die Euler’sche Zahl .

e^x als Potenzfunktion:

, , , , …

mit _/

Somit folgt: und damit auch

6.2 Die natürliche Logarithmusfunktion

Die Funktion f:ℝ⁺→ℝ, heißt natürliche Logarithmusfunktion (zur Basis e) und ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion e^x.

Es gilt: sowie

Eigenschaften:

• Graph ist streng monoton steigend
• für
• für
• 
• 

Für die Ableitung der Logarithmusfunktion erhält man mit bzw. :

Für die allgemeine Logarithmusfunktion gilt analog:

Es gilt auch: , also folgt:

Für ist die Ableitung , für ist eine Stammfunktion mit .

Anmerkungen:

• Die Exponentialfunktion wächst am schnellsten, also für alle n∈ℝ⁺.
• Die Logarithmusfunktion wächst am langsamsten, also für alle n∈ℝ⁺.
• Sie nähert sich auch am zögerlichsten der y-Achse, sodass gilt: für alle n∈ℝ⁺.
• Steht im Zähler einer Funktion die Ableitung des Nenners, so gilt: .

6.3 Exponentialgleichungen

Gleichungen, bei denen die Variable ausschließlich im Exponenten steht, heißen Exponentialgleichungen.

Beispiel 1: ||ln

=>

Beispiel 2: ||ln


=>

Beispiel 3: Subst:

,
=> ,

6.4 Logarithmusgleichungen

Beispiel 1:
<sub>||10^(…)


=> ,</sub>

Beispiel 3:
||3^(…)


=> ,