6.1 Exponentielles Wachstum

• Funktionswert: , t ∈ ℝ mit k = ln a
• Konstanter Wachstumsfaktor:
• prozentuale Zunahme: p = a – 1
• Quotient aufeinanderfolgender Werte ist konstant
• Graph: Exponentialfunktion

f (0) = f₀ = 100
f (1) = f(0) · 1,5 = 100 · 1,5¹
f (2) = f(1) · 1,5 = 100 · 1,5²
f (3) = f(2) · 1,5 = 100 · 1,5³
etc.
f (t) = f(t–1) · 1,5 = 100 · 1,5^t
mit t Anzahl der Zeitschritte

Für 0 < a < 1 spricht man von exponentieller Abnahme. Es ist dann k = ln a negativ.
Die momentane Änderungsrate bezieht sich dabei auf das Zeitintervall von t = 1.

• Nach der Verdopplungszeit T_D hat sich der Wert einer exponentiellen Wachstumsfunktion (k>0) verdoppelt, also ; somit folgt: .
• Nach der Halbwertszeit T_H hat sich der Wert einer exponentiellen Wachstumsfunktion (k>0) halbiert, also ; somit folgt: .
• Verdopplungs- und Halbwertszeit sind unabhängig vom Startzeitpunkt und Startwert der Funktionen.

6.2 Extremwertaufgaben

1. Definition der Variablen
2. Aufstellen der Gleichung mit beiden Variablen
3. Bedingung für beide Variablen, die zu maximieren bzw. zu minimieren ist
4. Umstellen der Gleichung und Einsetzen in die Bedingung
5. Extremwert berechnen (Ableitung!)
6. Einsetzen liefert den maximalen bzw. minimalen Wert
7. Antwort

Beispiel:

Eine zylindrische Konservendose soll bei festgelegtem Volumen eine möglichst kleine Oberfläche haben.
Bestimmen Sie das passende Verhältnis von Radius und Höhe.

1. r : Radius der Dose, h: Höhe der Dose
2. konstant
3. zu min!
4. =>
5. 
6. => ,
7. Die minimale Oberfläche erhält die Konservendose, wenn die Höhe gleich dem Durchmesser gewählt wird.

6.3 Verknüpfte Funktionen

ad lib.