5.1 Sinus und Cosinus

Es gilt: und .

Folgerungen:

und

Anmerkung:

Für jede harmonische Schwingung, z.B. Federpendel, gilt: . Die Lösung ist also eine Funktion, deren zweite Ableitung, bis auf einen Faktor, zur Funktion identisch und entgegen gerichtet ist. Es lässt sich zeigen, dass nur eine Funktion der Form diese Eigenschaft erfüllt. [Es gilt: ]

5.2 Verkettung von Funktionen, Kettenregel

Für zwei Funktionen und heißt Verkettung oder Hintereinanderausführung der Funktionen u und v, gelesen: u nach v.

Eventuell muss dabei die Definitionsmenge eingeschränkt werden auf .

Beispiel , und , ℝ.

,

,

Es ist offensichtlich

Kettenregel:

Ist eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen u und v, so gilt . Dabei nennt man das Bilden des Faktors Nachdifferenzieren.

5.3 Umkehrfunktion

Eine Funktion , ist genau dann umkehrbar, wenn sie injektiv ist.

Dabei ordnet die Funktion f jedem Definitionswert d∈D_f genau einen Funktionswert w∈W_f zu, also d→w = f(d).
Da f injektiv ist, gibt es eine Funktion φ mit w→d = φ(w). Man schreibt dafür mit .

Da die unabhängige Variable stets mit x bezeichnet wird, muss man die Variablenbenennungen x und y bei der Umkehrfunktion vertauschen und für die explizite Form nach y auflösen.

Notfalls muss man die Umkehrfunktion in der impliziten Form angeben.

Folgerungen:

• D_f = W_f –1 und W_f = D_f –1.
• Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.
• Aber nicht jede umkehrbare Funktion ist streng monoton!

Da die Graphen von Funktion f und Umkehrfunktion f ^–1 bzgl. der Winkelhalbierenden y=x achsensymmetrisch sind, gilt dies auch für die Steigung, also die Ableitungen wie folgt:

mit oder .

kurz:

5.4 Ableitung von Potenzfunktionen

Ist f eine differenzierbare Funktion mit , ℝ⁺ mit p∈Zopf; und q∈ℕ, dann gilt: .

Beweis: Seien mit und . Dann ist . Andererseits ist also .

Somit folgt für : . q.e.d.

5.5* Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen und ihre Ableitungen

muss man für die Umkehrbarkeit auf den Hauptwert eingrenzen. Dann ist mit die zugehörige Umkehrfunktion.

Für die Ableitung gilt:

muss man für die Umkehrbarkeit auf den Hauptwert eingrenzen. Dann ist mit die zugehörige Umkehrfunktion.

Für die Ableitung gilt: