5.0 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen

1. Zwei Gleichungen mit den selben Variablen ermitteln
2. Eine Gleichung mit einer Variablen ermitteln
3. Nach der ersten Variablen auflösen und in eine Gleichung mit zwei Variablen einsetzen
4. Nach der zweiten Variablen auflösen und beide in eine Gleichung mit drei Variablen einsetzen
5. Nach der dritten Variablen auflösen
6. Sinnvolle Antwort formulieren

Beispiel 1) Bestimme die Lösung.

    in IV)
                                    in I)
                                   

Beispiel 2) Bestimme die Lösung.

    nicht eindeutig lösbar

    in I)
                ℝ

5.1 Parabeln durch drei Punkte

Allgemeine Form:

Scheitelpunktform:

Nullstellenform:

Beispiel 1) , ,

I)            
II)      
III)    

I‘)     in II)
II‘)     in III)
III‘)

Beispiel 2) _{, ,}

I)          
II)              
III)    

IV)       (II) – (I)
V)     (III) – (I)

IV‘)             in V)
V‘)
Nullstellen:

,    

5.2 Extremwertaufgaben

1. Definition der Variablen
2. Aufstellen der Gleichung mit beiden Variablen
3. Bedingung für beide Variablen, die zu maximieren bzw. zu minimieren ist
4. Umstellen der Gleichung und Einsetzen in die Bedingung
5. Scheitel berechnen
6. Einsetzen liefert den maximalen bzw. minimalen Wert
7. Antwort

Beispiel:

Mit 20m Drahtzaun soll ein möglichst großes Gehege für Hasen an eine Wand gebaut werden.

• l : Länge des Geheges, b: Breite des Geheges
• 
• 
• ⇒
• ,
• 
• Das Gehege erreicht bei einer Länge von 10m und einer Breite von 5m mit 50m˛ den größten Flächeninhalt.

5.3 Quadratische Funktionen in der Physik

1. Autobahn
   • LKW fährt , PKW fährt

   Sicherheitsabstände: , ,
   rel.Bezugssystem:
   
   
   
   

   • PKW1 fährt , PKW2 beschleunigt mit

   Sicherheitsabstände: ,
   rel.Bezugssystem:
   
   
   
   

   

   • PKW fährt , LKW fährt

   

   , ,
   Abbremsweg:
   
   ⇒

   Autobahnradius: , Spurbreite:
   Maximale Sichtweite:

2. Landstraße
   • LKW fährt , PKW beschleunigt mit

   Abstände: , , ,
   1. Beschleunigung über Δx:
   
   2. Beschleunigung:
   
   ⇒
   
   

3. Stadt
   • PKW1 fährt , PKW2 fährt

   ,
   Anhalteweg:
   
   
   Restgeschwindigkeit:
   

   Auto		a
   Mercedes SLR (626PS)
   Audi S4 (333PS)
   Bmw 525d (218PS)
   Ford Focus 2,0 (150PS)
   Opel Corsa 1,0 (90PS)

5.4 Die Parabel als Ortskurve

Die Parabel ist die Ortskurve aller Punkte P, die von einem vorgegebenen Punkt F und einer vorgegebenen, nicht durch F verlaufenden Gerade g den gleichen Abstand haben.
Es gilt damit:

Beweis:
Wählt man das Koordinatensystem passend, so gilt:
, und
Dann ist und
Mit der Bedingung für die Ortskurve folgt:


⇒ , also eine Parabel mit Scheitel im Ursprung und Streckungsfaktor . q.e.d.

Anmerkung:

Fällt paralleles Licht senkrecht zur Gerade auf die Parabel, so werden alle Lichtstrahlen auf den Punkt F gespiegelt, also im Brennpunkt F gebündelt. (Satellitenschüssel)

Positioniert man im Brennpunkt F eine Lampe, so werden ihre sternförmigen Strahlen nach der Reflexion am Parabolspiegel in paralleles Licht verwandelt. (Autoscheinwerfer)