4.1 Normalparabel

Die Funktion ℝ → ℝ heißt Quadratfunktion, ihr Graph heißt Normalparabel.

Wertetabelle der Normalparabel:

Eigenschaften der Normalparabel:

• nach oben geöffnete, gekrümmte Kurve
• Scheitel ist der tiefste Punkt der Parabel
• symmetrisch zur y-Achse, denn ,
• für x < 0 ist f streng monoton fallend, für x > 0 ist f streng monoton steigend
• für große x, wird x² auch groß; W_f ist nicht nach oben beschränkt

Im ΔABC ist und es gilt: , also ist die Spur von D der Graph G_f von .

4.2 Verschiebung der Normalparabel

Verschiebung entlang der y-Achse um t

t > 0 : Verschiebung um t nach oben
t < 0 : Verschiebung um |t| nach unten

neue Eigenschaften zur Normalparabel:

• Scheitel ist

Verschiebung entlang der x-Achse um s

s > 0 : Verschiebung um s nach rechts
s < 0 : Verschiebung um |s| nach links

neue Eigenschaften zur Normalparabel:

• Kurvenform bleibt erhalten
• Scheitel ist S(s|0)
• symmetrisch zur Achse x = s, denn ,
• für x < s ist f streng monoton fallend,
  für x > s ist f streng monoton steigend

4.3 Streckung der Normalparabel

,

für a > 1 wird die Parabel schlanker
für 0 < a < 1 wird die Parabel breiter
für a < 0 wird die Parabel an der x-Achse gespiegelt

Mit gilt:

Damit gilt . Diese Punkte gehen aus mittels zentrischer Streckung an (0|0) mit Streckungsfaktor hervor. Damit sind alle Parabeln zueinander ähnlich.

4.4 Allgemeine Parabel

ist die allgemeine quadratische Funktion

⇔ ⇔ ⇔

Scheitelform mit ,

Eigenschaften der allgemeinen Parabel:

• Kurve und Öffnung sind durch a bestimmt
• Scheitel ist der tiefste bzw. höchste Punkt der Parabel
• Nullstellen:
  falls b² > 4ac: 2 Nullstellen symmetrisch zu x_S
  falls b² = 4ac: 1 Nullstelle
  falls b² < 4ac: keine Nullstellen
• symmetrisch zur Achse

allgemeine Form:

Scheitelform: ,

Nullstellenform: ,

Es gilt: , , ,

4.5 Parabel und Gerade

Parabel

Gerade

Gemeinsame Schnittpunkte:
→ mit ℝ

Man unterscheidet entsprechend der Diskriminante drei Fälle: