4. Komplexe Zufallsexperimente
4.0 Grundbegriffe
Ein Zufallsexperiment ist das Herbeiführen einer Entscheidung, die nicht beeinflusst werden kann, also zufällig erfolgt.
Beispiele hierfür sind: Würfeln, Münzwurf, Drehen eines Glücksrades, Ziehen aus einer Urne, Kartenziehen, etc.
Bei der Durchführung von Zufallsexperimenten tritt stets genau ein Ergebnis auf. Diese werden mit w1, w 2, w3, … bezeichnet. Die Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Ergebnismenge W={w1, w2, w3, …}. Für die Anzahl der Elemente der Menge W schreibt man |W|, Mächtigkeit der Menge W.
Ein Ereignis tritt ein, wenn ein Ergebnis wÎA einer Teilmenge A der Ergebnismenge W, kurz AÌW, eintritt.
Das Ereignis W tritt immer ein und heißt sicheres Ereignis. Das Ereignis Æ tritt nie ein und heißt unmögliches Ereignis. Das Gegenereignis 
enthält alle Ergebnisse wiÎW, für die gilt: wiÏA. Man schreibt auch 
\ A. Es gilt: 
. Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Ergebnis haben, kurz: 
.
Bei einem Zufallsexperiment wird jedem Ergebnis wi eine Wahrscheinlichkeit 0 < P(wi) = 1 zugeordnet. Der Wert ist körper- und formbedingt und gibt den Anteil des Auftretens an der Gesamtzahl der Versuche an.
Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Bei einem Zufallsexperiment tritt jedes Ergebnis wi mit einer Wahrscheinlichkeit P(wi) auf. Mit steigender Versuchsanzahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit der Ergebnisse h(wi) und nähert sich der Wahrscheinlichkeit an: 
.
Man definiert intuitiv: P(Ø) = 0 und P(?) = 1 .
Haben bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit, so nennt man es Laplace-Experiment. Gibt es k Ergebnisse, so gilt: 
für alle 
.
Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A gilt beim Laplace-Experiment: 
. Damit gilt: 
.
Additionsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
, falls 
paarweise disjunkt für alle .
Beeinflusst das Auftreten eines Ereignisses A das Auftreten des Ereignisses B nicht, so nennt man A und B unabhängig.
Multiplikationsgesetz der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
, falls paarweise unabhängig für alle .
4.1 Vierfeldertafel und Baumdiagramm
Wird ein Zufallsexperiment auf das Eintreten zweier Ereignisse A und B betrachtet, so lässt sich die Ergebnismenge W in einer Vierfeldertafel übersichtlich veranschaulichen:
Dabei sind 
, 
, 
und 
disjunkt.
Sätze für die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge
Für 
gilt: 
. Analog folgt: Falls 
für 
gilt: 
.
Satz für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung
4.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit
|
Ist bei einem Zufallsexperiment das Eintreten eines Ereignisses
A
bekannt und betrachtet man dann die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von
B
, so bezeichnet man dies als bedingte Wahrscheinlichkeit
PA
(
B
).
Es gilt dann: 
Anmerkung:
- Die Bedingung ist nicht vertauschbar, denn aber
- Für unabhängige Ereignisse gilt:
, also 
Du möchtest mehr?
Nachhilfe
Du schreibst bald einen Test, verstehst ein bestimmtes Thema aber noch nicht oder du brauchst einfach nur Hilfe bei den Hausaufgaben?
Du kannst mich gerne jederzeit kontaktieren, damit wir einen Termin ausmachen können.
Coaching
Prozent- und Zinsrechnungen sind nicht so dein Ding?
Ich kann dir dabei helfen, altes Wissen wieder aufzufrischen.
Du kannst mich gerne jederzeit kontaktieren, damit wir einen Termin ausmachen können.