4.1 Definition

Zur Beschreibung eines Punktes im Raum benötigt man drei Koordinaten, die entlang der paarweise senkrecht aufeinander stehenden Achsen x ₁, x₂ und x₃ angetragen werden. Dabei wird die x₁-Achse nach vorne unter einem Winkel von 45° und um verkürzt dargestellt (Kästchendiagonale).

Beispiel:

Der Punkt P(2|4|1,5) wird als Tripel angegeben mit den Koordinaten x ₁ = 2, x ₂ = 4 und x ₃ = 1,5.

4.2 Vektoren im ℝ³

Ein Vektor ist die Verschiebung des dreidimensionalen Raumes. Er wird als Pfeil dargestellt.

Jedem Punkt P wird ein Punkt Q des Raumes zugeordnet, so dass die Verbindungsstrecken zwischen den entsprechenden Punkten parallel und gleich lang sind. Eine solche gerichtete Strecke wird Repräsentant des gegebenen Vektors genannt und mit bezeichnet. P heißt Angriffspunkt, Q heißt Endpunkt.

1. Zu jedem Punkt A existiert genau ein Repräsentant des Vektors , dessen Angriffspunkt A ist.
2. Zu jedem Punkt B existiert genau ein Repräsentant des Vektors , dessen Endpunkt B ist.
3. Verschiedene Repräsentanten sind parallel und haben die gleiche Länge.
4. Ist ein Repräsentant des Vektors , so ist der Abstand zwischen P und Q der Betrag oder die Länge des Vektors , geschrieben .
   
   Es gilt: . Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren _. .
   Es gilt: sowie , .
5. Zwei Vektoren und sind genau dann gleich, wenn sie in Länge und in Richtung übereinstimmen.
   Sind sie entgegengesetzt, also , so gilt für ihre Länge , aber für die Richtung .
6. Kartesisches Koordinatensystem: , ℝⁿ

4.3 Addition von Vektoren im ℝⁿ

• Vektoraddition: bezeichnet die Hinterein-anderausführung der Verschiebungen durch die Vektoren und . Man sieht, dass gilt: .
  
• Nullvektor : ,
• Vektorsubtraktion: Zu jedem gibt es ein mit und . Es gilt dann: _.
• Assoziativgesetz:

4.4 S-Multiplikation von Vektoren im ℝⁿ

• S-Multiplikation: , also für ℝⁿ, ℝ

Für Skalare ℝ und Vektoren ℝⁿ gilt:

1. (1. Distributivgesetz)
2. (2. Distributivgesetz)
3. (Assoziativgesetz)

4.5 Skalarprodukt von Vektoren im ℝⁿ

Die Repräsentanten zweier Vektoren ℝⁿ\ schließen einen Winkel und einen Winkel ein mit .

Beim Skalarprodukt gilt ∢ = ∢

Es gilt ∢.

Bei kartesischen Koordinaten:

• Die Vektoren des Skalarprodukts müssen aus dem selben Vektorraum stammen, also gleiche Dimension haben.
• Das Skalarprodukt ist nur für zwei Vektoren definiert und lässt sich nicht erweitern, da das Ergebnis ein Skalar, also eine Zahl ist.
• Somit lässt sich das Skalarprodukt auch nicht umkehren, daher ist eine Division durch einen Vektor ebenfalls nicht erklärbar.

Folgerung:

Beim Skalarprodukt gilt ∢=∢; daher ist evtl. der entsprechende negative Nebenwinkel zu wählen.

Für zwei Vektoren ℝⁿ\ gilt genau dann, wenn .

Für zwei Vektoren ℝⁿ\ gilt genau dann, wenn .

Ist die Projektion des Vektors auf und die Projektion des Vektors auf , so gilt: . Während ∢ ist, gilt ∢.

Rechengesetze des Skalarprodukts:

für alle

4.6 Vektorprodukt von Vektoren im ℝ³

Für zwei Vektoren ℝ³ definiert man das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) mit folgenden Eigenschaften:

1. und , kurz , also gilt:
2. ∢
3. Dadurch wird die Richtung des Vektors so festgelegt, dass von der Spitze von aus gesehen die Drehung des Vektors auf die kürzere der beiden möglichen ist. Man spricht dann bei , und von einem Rechtssystem.
   

Löst man die beiden Gleichungen der 1. Eigenschaft auf, so gilt

.

Bei kartesischen Koordinaten: , ,

• Das Vektorprodukt existiert nur im ℝ³.
• Das Vektorprodukt lässt sich auf beliebig viele Faktoren erweitern.
• Der Wert des Vektorproduktes entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, aufgespannt von und , also ∢.
  

Folgerung:

Für zwei Vektoren ℝ³\ gilt genau dann, wenn .

Rechengesetze des Vektorprodukts:

4.7 Weitere Anwendungen des Vektorprodukts

• Flächeninhalt des Dreiecks:

  Der Flächeninhalt des Dreiecks entspricht der Hälfte des Flächeninhalts eines Parallelogramms, also
   

• Volumen eines Spats:

  Drei orthogonale Vektoren , und , also , spannen einen Quader auf. Bilden die Vektoren nur noch ein Rechtssystem, sind aber nicht mehr orthogonal, so nennt man den Körper einen Spat, „ eine Art dreidimensionales Parallelogramm“.
  Die Grundfläche beträgt . Die Höhe des Spates ist die Projektion von auf , also gilt:

  

  Dabei gilt:
   

• Volumen einer Pyramide:

  Wegen und gilt:
  mit einem Dreieck als Grundfläche.
  mit einem Parallelogramm als Grundfläche. 

4.8 Kugel im ℝⁿ

Eine Kugel ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M den gleichen Abstand r haben. Dabei definiert der Raum die Dimension der Kugel.
Es gilt: bzw.

Im ℝ³ lässt sich die Kugelgleichung auch wie folgt darstellen:
mit

Im ℝ² heißt eine „Kugel“ Kreis und lässt sich mit folgender Gleichung darstellen:
mit

Alle diese Gleichungen nutzen letztlich den Pythagoras zur Beschreibung.