3.1 Die allgemeine quadratische Gleichung

ax² + bx + c = 0 , a ≠ 0

ax² ist das quadrat., bx das lineare und c das konstante Glied.

Für b = 0 liegt eine reinquadratische Gleichung vor.
Für a = 0 ergibt sich eine lineare Gleichung.
Für b ≠ 0 nennt man die Gleichung gemischtquadratisch.

3.2 Lösen durch Faktorisieren

Beispiel 1)
x² – 6x + 9 = 0
(x – 3)² = 0   ||
|x – 3| = 0
x = 3 ⇒ 𝕃 = {3}

Beispiel 2)
2x² + 4x + 2 = 0   || : 2
(x + 1)² = 0   ||
|x + 1| = 0
x = -1 ⇒ 𝕃 = {-1}

Beispiel 3)
x² – 3x = 0
x ⋅ (x – 3) = 0
x = 0 oder x = 3 ⇒ 𝕃 = {0 ; 3}

Beispiel 4)
x² – x – 6 = 0
x² – 6x + 9 + 5x – 15 = 0
(x – 3)² + 5(x – 3) = 0
(x – 3) ⋅ (x – 3 + 5) = 0
x = 3 oder x = -2 ⇒ 𝕃 = {-2 ; 3}

Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

3.3 Satz von Vieta

Lässt sich die quadratische Gleichung in ein Produkt umwandeln, erhält man die Lösungen durch „null setzen“ der einzelnen Faktoren.

Für eine allgemeine quadratische Gleichung gilt dann:

, , denn a ≠ 0

Lässt sich diese Gleichung als Produkt schreiben, dann nur in der Form (x + s)(x + t) = 0 mit Werten s, t ∈ ℝ .

ausmultipliziert: (x + s)(x + t) = x² + (s + t) ⋅+ x + (s ⋅ t) = 0

Koeffizientenvergleich ergibt den Satz von Vieta:

Gibt es zwei Zahlen s, t ∈ ℝ mit s + t = p und s ⋅ t = q , dann gilt: x² + px + q = (x + s)(x + t) = 0 , also 𝕃 = {-s ; –t}

3.4 Die Lösungsformel für quadrat. Gleichungen

, , denn a ≠ 0
  quadratische Ergänzung

     
        Fallunterscheidung !!

    Auflösen der Beträge ergibt
     
    bzw.    

Wir holen nun die erforderliche Fallunterscheidung nach:
Man definiert die Diskriminante

Für D < 0 gilt: ist nicht definiert, also 𝕃 = {} .
Für D = 0 gilt: , somit gibt es nur eine Lösung.
Für D > 0 gibt es zwei Lösungen, also 𝕃 = {x₁ ; x₂} .

3.5 Biquadratische Gleichungen

Eine Gleichung der Form ax⁴ + bx² + c = 0 , mit a ≠ 0 heißt biquadratisch, da sie mittels Substitution x² := u auf eine quadratische Gleichung a ⋅ (x_²)² + b ⋅ (x_²) + c = au² + bu + c = 0 zurückgeführt werden kann.

Für die Lösungen gilt dann: und , falls u₁ , u₂ ≥ 0 , also 𝕃 = {x₁ ; x₂ ; x₃ ; x₄} .

Beispiel 1)
Subst.:

, also ,
, , , , also

Beispiel 2)
Subst.:


, , aber ℝ , daher x₃ und x₄ nicht definiert, also

3.6 Quadratische Gleichungen mit Parametern

Für welche Werte t ∈ ℝ besitzt die Gleichung zwei Lösungen. Wie lauten sie?

2 Lsg ⇔ D > 0

Es muss damit gelten: , also t ∈ ℝ\

    und