3.1 Monotonie

Eine Funktion f heißt auf einem Intervall I streng monoton steigend, wenn ihr Graph stetig ansteigt, also nirgends abfällt oder stagniert. Präzise:

Gilt für eine stetige Funktion f für alle x₁,x₂∈I mit x₁<x₂
f(x₁)<f(x₂), dann heißt f auf I streng monoton steigend,
f(x₁)>f(x₂), dann heißt f auf I streng monoton fallend.

Folgerung:

Ist f eine differenzierbare Funktionen und gilt für alle x∈I   f′(x)>0 , so ist f streng monoton steigend. Gilt f′(x)<0 , so ist f streng monoton fallend. Eine isolierte Stelle f′(x₀) = 0 stört diese Eigenschaft nicht.

Jede Funktion , ordnet der Variablen x∈D_f eindeutig einen Funktionswert y∈W_f zu. Wird dabei jeder Funktionswert y nur einmal vergeben, so heißt die Funktion f injektiv.

Folgerung:

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Jede injektive Funktion ist umkehrbar.

3.2 Extremwerte

Gilt bei einer Funktion f für eine genügend kleine Umgebung U von x₀ für alle x ∈ U, so heißt der Punkt (lokales) Maximum. Gilt für alle x∈U, so heißt der Punkt (lokales) Minimum.

Folgerung:

Ist f eine differenzierbare Funktion und f(x₀) ein Extremwert, so gilt f′(x₀)=0.

• Ist f(x₀) ein Minimum, so gilt für alle x₁∈U mit x₁<x₀:  f′(x₁)<0 und für alle x₂∈U mit x₂>x₀:  f′(x₂)>0, also wechselt das Vorzeichen der Ableitung von – auf +.
• Ist f(x₀) ein Maximum, so gilt für alle x₁∈U mit x₁<x₀: f′(x₁)>0 und für alle x₂∈U mit x₂>x₀: f′(x₂)<0, also wechselt das Vorzeichen der Ableitung von + auf –.
• Ausnahme: f(x₀) mit x₀∈U nennt man einen Terrassenpunkt, wenn für alle x∈U mit x≠x₀ gilt: entweder f′(x)<0 oder f′(x)>0. Dann wechselt das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die Nullstelle der 1.Ableitung ist somit immer doppelt.

Minimum                                           Maximum

Terrassenpunkt 1                            Terrassenpunkt 2

Ist eine Funktion f stetig, dann gibt es zwischen zwei Nullstellen immer ein Extremum, außer die Funktion ist konstant null.

Satz von Rolle
Ist eine Funktion f auf einem Intervall I=[a ;b] stetig und gilt f(a)=f(b)=0, dann gibt es mindestens ein x₀∈I mit f‘(x₀)=0.

3.3 Newton-Verfahren

Satz von Bolzano (Zwischenwertsatz)
Ist eine Funktion f auf einem Intervall I=[a ;b] stetig und haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, dann gibt es ein x ₀∈I mit f(x₀)=0.
Der Beweis erfolgt durch Intervallschachtelung .

Lässt sich eine Nullstelle x* nur schwer direkt bestimmen, so hilft das Newton-Verfahren, indem es die Funktion f in der Nähe der Nullstelle durch Tangenten t_i nähert.

Beginnt man mit einem Startwert x₀, so ist die Tangente im Punkt . Die Nullstelle dieser Tangente lautet dann . Meistens ist nun x₁ ein besserer Näherungswert als x₀, sodass man die Iteration mit x₁ als neuem Startwert wiederholt. Dann gilt .

Newton-Verfahren:
Ist f eine differenzierbare Funktion und x₀ eine Näherung für die Nullstelle x*, so gilt oft für    .

Folgerung:

x₀ muss zwischen x* und dem nächsten Extremum liegen, sonst nähert sich das Verfahren einer anderen Nullstelle an.

3.4 Zweite Ableitung, Wendepunkt

Ist ℝ, , die Ableitung von f, ebenfalls eine differenzierbare Funktion, so heißt ℝ, die zweite Ableitung von f.

Die zweite Ableitung einer Funktion gibt die Änderung der Steigung an, also ob die Steigung zukünftig zu- oder abnimmt.

Gilt für eine zweifach differenzierbare Funktion f für alle x∈I , dann ist f′(x) streng monoton steigend auf I und der Graph der Funktion G_f linksgekrümmt (konvex).
Ist , dann ist f′(x) streng monoton fallend auf I und der Graph der Funktion G_f rechtsgekrümmt (konkav).

Folgerung:

Ist f eine zweifach differenzierbare Funktion mit und , dann hat f bei x₀ ein Minimum.
Ist , dann hat f bei x₀ ein Maximum.

Ist f eine zweifach differenzierbare Funktion und wechselt der Graph bei x₀ seine Krümmung, so gilt und heißt Wendepunkt der Funktion f.

Folgerung:

Gilt für den Wendepunkt einer Funktion f auch , so heißt er Terrassenpunkt.
Gilt für eine Funktion , aber , so hat f bei x₀ einen Wendepunkt. Ist , so ist es oft am einfachsten, das Vorzeichen der ersten Ableitung zu betrachten, um die Art des Extremums zu bestimmen.