2.1 Nullstellen, Definitionsmenge

Die Nullstelle einer Funktion f ist x-Koordinate des Schnittpunktes von Funktionsgraph G_f und x-Achse: .

• Zähler gleich null setzen (Gebrochen rationale Fkt.)
• Polynomdivision (Funktionen ab Grad 3)

Insbesondere bei gebrochen rationalen Funktionen schränken die Nullstellen des Nenners die Definitionsmenge ein.

• Polstellen, senkrechte Asymptoten

2.2 Erste Ableitung, Extremwerte

Minimum:

und

• und mit
• und also Wechsel von – auf +.
• 
• Verlauf des Graphen, z.B. zwischen zwei Nullstellen

Maximum:

und

• und mit
• und also Wechsel von + auf –.
• 
• Verlauf des Graphen, z.B. zwischen zwei Nullstellen

Terrassenpunkt:

und .

• und bzw. und mit
• und bzw. und also kein Wechsel
• (Dritte Ableitung)
• Verlauf des Graphen, z.B. zwischen zwei Nullstellen

2.3 Zweite Ableitung, Wendepunkt

: dann ist G_f linksgekrümmt (konvex).

: dann ist G_f rechtsgekrümmt (konkav).

Ist f eine zweifach differenzierbare Funktion und wechselt der Graph bei x₀ seine Krümmung, so gilt und heißt Wendepunkt der Funktion f.

Folgerung:

Gilt für den Wendepunkt einer Funktion f auch , so heißt er Terrassenpunkt.

Gilt für eine Funktion , aber , so hat f bei x₀ einen Wendepunkt. Ist , so ist es oft am einfachsten, das Vorzeichen der ersten Ableitung zu betrachten, um die Art des Extremums zu bestimmen.

2.4 Grenzwerte, Regel von l’Hospital

Gibt es für eine Funktion f einen Wert a ∈ ℝ, dem sich alle Funktionswerte für große x beliebig nähern, so heißt a Grenzwert der Funktion f; man schreibt: .

Gilt für einen Grenzwert oder , so gilt: (Regel von Bernoulli und l’Hospital)

Anmerkungen:

Liefert auch keine Entscheidung, muss man die Regel öfter anwenden, bis eine höhere Ableitung entscheidet.

Beispiel:

2.5 Symmetrieeigenschaften, Asymptoten

Symmetrieeigenschaft zur y-Achse: f(–x)= f(x)

Symmetrieeigenschaft zum Ursprung: f(–x)=–f( x)

Anmerkungen:

• Jede Funktion 2. Grades ist achsensymmetrisch zu
• Jede Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

Gebrochen rationale Funktionen:

• Nullstellen des Nenners sind meist senkrechte Asymptoten
• Polynomdivision mit Rest liefert auch eine schräge Asymptote

Exponential- und Logarithmusfunktionen:

• und mit a als Grenze von D_f

Trigonometrische Funktionen:

• Normalerweise haben diese keine Grenzwerte, also auch keine Asymptoten.
• Ein Vorfaktor kann diese nur gegen horizontale Geraden zwängen, z.B.

2.6 Aufgabenspezifisches

Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse:

• an den Nullstellen von f zu zerschneiden.

Tangente, im Speziellen: Wendetangente:

• im Punkt
• 
• Punkt B einsetzen in liefert b

Für die Wendetangente gilt: →

Extremwerte:

• Definition der Variablen
• Aufstellen der Gleichung mit beiden Variablen
• Bedingung für beide Variablen, die zu maximieren bzw. zu minimieren ist
• Umstellen der Gleichung und Einsetzen in die Bedingung
• Extremwerte berechnen → Ableitung nach der Variablen
• Einsetzen liefert den maximalen bzw. minimalen Wert
• Antwort

Modellieren:

• Grundgleichung des passenden Funktionstyps
• Skizze des Graphen
• Bedingungen in die Funktion einsetzen
• Gleichungssystem lösen und Funktion angeben
• Überprüfung an den angegebenen Bedingungen