2.0 Stetigkeit

Eine Funktion f heißt auf einem Intervall I stetig, wenn ihr Graph eine glatte Kurve ist, die nirgends unterbrochen ist, also man ohne Abzusetzen mit dem Stift zeichnen kann. Präzise:

Hat eine Funktion f bei x₀ den Wert f(x₀) und gilt , so ist f an der Stelle x₀ stetig.

Gilt diese Eigenschaft für alle Werte eines Intervalls I, so heißt f auf dem Intervall I stetig.

Fachlich: Gibt es für jede beliebig kleine Toleranz ε eine passende Zahl δ(ε) so, dass für alle , dann ist die Funktion f bei x₀ stetig.

Folgerung:

Funktionen mit Sprung oder Definitionslücke sind an diesen Stellen nicht stetig.

2.1 Differenzenquotient

Ist eine Funktion f im Intervall stetig und sowie zwei Punkte des Funktionsgraphen G_f, dann gibt der Differenzenquotient die mittlere Änderungsrate der Funktion im Intervall I an.

Graphisch gibt er die Steigung der Sekante durch P und Q an.

2.2 Differentialquotient

Fixiert man bei einer stetigen Funktion den Punkt und verschiebt nun immer näher an P heran, so wird aus der Sekante eine Tangente an den Graphen im Punkt P. Dabei gibt der Differentialquotient die Steigung der Tangente und somit die lokale bzw. momentane Änderungsrate von f an der Stelle x₀ an.

Fachlich: Man betrachtet dabei eine Folge von Punkten des Funktionsgraphen G_f mit , die sich also dem Punkt beliebig nahe annähern.

Somit lässt sich der Differentialquotient auch als schreiben und heißt Ableitung .

2.3 Differenzierbarkeit

Eine Funktion f heißt auf einem Intervall I differenzierbar, wenn ihr Graph eine glatte Kurve ist, die sich höchstens gleichmäßig ändert, also keinen Knick aufweist. Präzise:

Existiert für eine Funktion f bei x₀ der Differentialquotient, so nennt man seinen Wert Ableitung .

Gilt diese Eigenschaft für alle Werte eines Intervalls I, so heißt f auf dem Intervall I differenzierbar.

Folgerung:

Eine nicht-stetige Funktionen kann nicht differenzierbar sein.

Weist eine Funktion einen Knick im Graphen auf, so ist sie an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Beispiel:

Somit existiert bei x₀ keine Ableitung, also f nicht differenzierbar.

Die Berechnung vereinfacht sich erheblich, wenn man den Differentialquotienten wie folgt umschreibt:

2.4 Ableitung und Stammfunktion

Ist ℝ, eine differenzierbare Funktion, so heißt ℝ, die Ableitung von f.

Anmerkung: ist die Ableitung nach der Variablen x.
ist die Ableitung nach der Zeit t.

Um die Ableitung einer Funktion zu berechnen, betrachtet man den Differentialquotienten eines konkreten Punktes x₀, den man dann doch beliebig und so zu einer Variablen werden lässt.
ist für D_f = ℝ differenzierbar.
, also , D_f′ = ℝ

ist für D_g = ℝ differenzierbar.
, also , D_g′ = ℝ

Ist ℝ, eine stetige Funktion auf I, so heißt ℝ, eine Stammfunktion von f, wenn gilt.
Das Ermitteln der Stammfunktion nennt man Integrieren.

x = 0: f hat eine horizontale Tangente, also gilt für die Ableitung f‘(0) = 0.

x = 0: f(0) = –1, also hat F(x) die Steigung –1

x = ±1: f(±1) = 0, also hat F(x) jeweils eine horizontale Tangente (Maximum und Minimum)

x = ±2: f(±2) = 3, also steigt F(x) entsprechend

2.5 Ableitungsregeln

• Potenzfunktionen: mit n ∈ ℝ, D_f = ℝ
  
• Summenregel: mit g & h differenzierbar
  
• Faktorregel: mit c ∈ ℝ
  
• Produktregel: , u & v differenzierbar
  
• Quotientenregel: , u & v differenzierbar
  
• Kettenregel: , u & v differenzierbar
  
• Beispiele: