2.1 Kathetensatz

Die beiden Dreiecke ΔADC und ΔABC stimmen im Winkel α überein und haben beide zusätzlich einen rechten Winkel, sie sind also ähnlich:
ΔADC ~ ΔABC

Es gilt: , also b² = c ⋅ q

Entsprechend gilt auch:
ΔDBC ~ ΔABC und somit , also a² = c ⋅ p

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Flächeninhalt des Quadrates über einer Kathete gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt. Es gilt somit: a² = c ⋅ p , b² = c ⋅ q .

Der Kathetensatz kann ebenfalls zur Umwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat verwendet werden.

2.2 Satz des Pythagoras

Folge der Kathetensätze:

Es gilt: a² + b² = c²

In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten a und b gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse c.

Der Satz des Pythagoras lässt sich für alle Formen erweitern, die quadratisch von der Seitenlänge abhängig sind, z.B. Halbkreise, Monde, Kirchen etc, also zueinander ähnlich sind.

Es gilt auch die Umkehrung:

Gilt in einem Dreieck ABC a² + b² = c² , dann ist der Winkel γ = 90° .

2.3 Höhensatz

Die Schenkel a und b des rechten Winkels γ heißen Katheten, die Seite c, die ihm gegenüberliegt, heißt Hypotenuse.
Die Höhe h auf die Hypotenuse teilt diese in die beiden Hypotenusenabschnitte p und q sowie den Winkel γ in den Winkel γ₁ und γ₂.

Im Dreieck ΔABC gilt: α + β = 90°

Im Dreieck ΔCBD gilt: γ₂ + β = 90° ⇒ γ₂ = α

Im Dreieck ΔACD gilt: α + γ₁ = 90° ⇒ γ₁ = β

Die Dreiecke ΔACD und ΔCBD stimmen in zwei Winkeln überein und sind damit ähnlich, also ΔACD ~ ΔCBD
⇒ ⇒ h² = p ⋅ q

In einem rechtwinkligen Dreieck ΔABC ist der Flächeninhalt des Quadrates über der Höhe h gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks aus den beiden Hypotenusenabschnitten p und q. Es gilt somit: h² = p ⋅ q

Mit Hilfe des Höhensatzes lässt sich nun jede beliebige Wurzel geometrisch bestimmen, aber auch jede Zahl quadrieren.

2.4 Anwendungen an Figuren und Körpern

In einem gleichseitigen Dreieck ΔABC gilt: a = b = c , α = β = γ = 60° und h_a halbiert die Grundseite a.

Es gilt: , also .

Damit folgt:

Für ein Rechteck ABCD gilt:

d² = a² + b² , also

Für ein Quadrat folgt:

d² = 2 ⋅ a² , also

Die fünf Platonischen Körper

• Tetraeder
  
  
  ,
• Würfel
  ,

  ,

• Oktaeder
  
  
  ,
• Isokaeder
  
  
  
  
• Dodekaeder