1. Kreis und Kugel
1.1 Die Kreiszahl p
Ähnlichkeit aller Kreise liefert: 
, 
Es gilt: 
mit 
- Ägypter (1000 v.Chr.): Umwickeln eines Zylinders
- Experimentell: Wiegen eines Papierkreises mit Radius r
Wiegen eines Papierquadrats mit Seitenlänge 2r
Monte-Carlo-Methode: Werfen eines schwarzen und weißen Würfels
Versuche,
t Anzahl der Würfe innerhalb k
Mathematisch:
mit 
=> 
=> 
für große n gilt: 
Rekursion liefert:
- Heute:
100ooo Glieder nötig, um p mit einer Genauigkeit von fünf Dezimalen zu bestimmen.
besser: 
Machin (1706): 
Gauss: 
Strömer (1896): 
1961: Berechnung von p auf 100’265 Dezimalen; Dauer 4Std (Gauss) /8 Std (Strömer)
1.2 Bogenmaß und Kreissektor
Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Bogens im Einheitskreis.
Es gilt: 
=> 
Für a im Bogenmaß gilt: 
Wichtige Beziehungen:
Für jeden Kreissektor gilt: 
1.3 Volumen und Oberfläche von Kugeln
Sei M ein Punkt im Raum (Mittelpunkt). Eine Kugel mit dem Radius r besteht aus der Menge aller Punkte P, welche höchstens den Abstand r von M haben.
Sei M ein Punkt im Raum (Mittelpunkt). Eine Kugeloberfläche mit dem Radius r besteht aus der Menge aller Punkte P, welche genau den Abstand r von M haben.
Schneidet man nach der Idee von Cavalieri in mehreren Ebenen durch eine Halbkugel und zeichnet die “Querschnittsbilder” der zugehörigen Kreisringe, so entsteht folgendes Bild:
Der Flächeninhalt der Schnittfläche ist jeweils:
,
denn nach dem Satz des Pythagoras gilt: 
.
Der Schnittkreis der Ebene mit der Kugel hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Kreisring mit dem inneren Radius h und dem äußeren Radius r.
Setzt man diese Kreisringe aufeinander, so erhält man einen Zylinder, aus dem ein Kegel ausgefräst wurde.
Nach dem Prinzip von Cavalieri ist das Volumen der Kugel identisch mit dem des Vergleichskörpers, also einem Zylinder vom Radius und Höhe r, aus dem ein Kegel mit Radius r und Höhe r herausgeschnitten ist.
Es gilt: 
,
also: 
1. Annäherung durch Pyramiden:
Zerlegt man eine Kugel in viele Pyramiden, deren Grundfläche zusammen die Oberfläche der Kugel annähern, so ergibt sich für die Berechnung des Volumens:
, wobei sich mit größerer Anzahl n an Pyramiden die Höhe h dem Kugelradius r und die Kugeloberfläche etwa der Summe der Grundflächen annähert.
Kurz: h ® r und 
.
2. Annäherung durch eine Seifenblase:
Das Volumen der Seifenblase verteilt sich gleichmäßig auf der Oberfläche einer Kugel, so dass im Inneren nur Luft ist. Somit:
Das Volumen der Seifenblase kann durch einen Quader angenähert werden. Mit sehr geringer Dicke d der Seifenblase lassen sich dann die letzten beiden Terme vernachlässigen.
Mit 
folgt:
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