1.0 Geschichtliches

Wie groß ist der Flächeninhalt einer Ellipse?

• Ausschneiden und wiegen. Es gilt: =>
• mit Quadraten auslegen und abzählen
• Integralrechnung

1.1 Lokale Änderungsrate

Der Besucheraufzug im Münchner Fernsehturm fährt gemäß folgender Geschwindigkeitsfunktion v.

Auf welcher Höhe befindet sich die Besucherplattform?




also 185m.

Auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse ist 185.

Ist von einer Größe der Verlauf ihrer lokalen Änderungsrate bekannt, so ist die Gesamtänderung gleich der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der lokalen Änderungsrate.

Folgerungen:

• Die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion v(t) entspricht dem Ort x(t).
• Die Fläche unter der Funktion des Wasserzulaufs z(t) gibt die Wassermenge w(t) an.
• Die Fläche unter der Ableitung f‘ gibt die Differenz der Funktionswerte f(x) zwischen Anfang a und Ende b der Fläche an, also f(a) – f(b).

1.2 Streifenmethode: Ober- und Untersumme

Zur Berechnung der Fläche A_f zwischen der x -Achse und dem Graphen G_f einer Funktion , I_f ⊆ ℝ, W_f ⊆ ℝ eignet sich die Streifenmethode. Dabei wird das Intervall I_f in n gleich lange Teilintervalle unterteilt. Die Höhe der dabei entstehenden Rechtecke ist durch die Funktionswerte festgelegt. Die Summe der umschriebenen Rechtecke heißt Obersumme O_f, die Summe der einbeschriebenen Rechtecke heißt Untersumme U_f.

Es gilt stets: .

Beispiel 1:

, , Länge der Teilintervalle

Mit höherer Anzahl an Teilintervallen werden die NäherungenU_f und O_f für die Fläche A_f immer besser. Damit gilt:

Für das Intervall gilt dann:

Beispiel 2:

, , Teilintervallänge

         

Somit folgt:
Für das Intervall gilt dann:

1.3 Der Integralbegriff

Für jede wenigstens abschnittsweise stetige Funktion gilt: . Man schreibt dafür und bezeichnet es als Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b.

Dabei werden die Intervallbreiten infinitesimal klein und man schreibt dann dafür dx.

Anmerkungen:

• Das Integral selbst wird negativ, wenn der Graph der Funktion f unterhalb der x-Achse liegt.
• Verläuft der Graph der Funktion f sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse, so kann das Integral null werden, wenn sich die Flächen gegenseitig aufheben.
• Für die Berechnung muss man das Integral an den Nullstellen des Integranden f aufteilen.

Eigenschaften:

Ist eine stetige Funktion auch punktsymmetrisch, also , so gilt für das Integral .

Integralfunktion:

Sei , D_f = ℝ eine stetige Funktion, so wird durch die orientierte Fläche zwischen x-Achse und Graph G_f im Intervall beschrieben. Wählt man die Obergrenze variabel, so erhält man als Flächenfunktion die Integralfunktion mit der Untergrenze a bis zur variablen Obergrenze x.

Es ist klar: , also ist a Nullstelle der Funktion F.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

Es ist leicht zu sehen, dass die Integralfunktion stetig ist. Wie lässt sich nun berechnen?

Gemäß der Streifenmethode lässt sich die Differenz zwischen F(x) und F(x+h) durch ein einbeschriebenes und ein umschriebenes Rechteck abschätzen.

Es gilt dann: für h>0 und f monoton steigend, also auch . Aufgrund der Stetigkeit der Funktionen f und F lassen sich die Grenzwerte bilden für und wegen gilt .

Sei f eine auf dem Intervall I_f ⊆ ℝ integrierbare Funktion und F ihre Integralfunktion mit D_f = I_f, so gilt:
mit .

Sei f eine stetige Funktion. Jede differenzierbare Funktion F heißt Stammfunktion von f, wenn gilt: . Man schreibt dafür das unbestimmte Integral mit c ∈ ℝ und . Also folgt: .

1.4 Uneigentliches Integral

Ist die Funktion f auf , a ∈ ℝ integrierbar und ℝ, dann gilt: .

Folgerungen:

• , falls ℝ
• 
• , falls k>1

1.5* Integration durch Substitution

mit Subst: t = g(x) und dt = g‘(x)dx

Beispiel 1:

     Subst.:
Für das Differential bildet man die Ableitung der Substitution und löst nach dem neuen Differential auf:
, also dt = 2dx. Somit folgt:

Beispiel 2:

     Subst: , , also dt = dx

1.6* Partielle Integration

Sind zwei Funktionen u und v in einem Intervall I differenzierbar, dann gilt dort:

, also

Beispiel 1:

     Setze: , und ,
Somit folgt:

Beispiel 2:

     Setze: , und ,
Somit folgt:

 

1.7 Integrationsmethoden

• Potenzen:
• Summen:
• Logarithmus:
• Kettenregel1:
• Kettenregel2:
• *Substitution: mit Subst: t = g(x) und dt = g‘(x)dx