1.0 Wiederholung

Ersetzt man bei einer Funktion f die Variable x durch (x–s) , so ist der Graph der Funktion formgleich, aber um +s entlang der x-Achse verschoben.

Der Graph der Funktion ist ebenfalls formgleich, aber um +t entlang der y -Achse verschoben.

Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig nahe annähert, heißt Asymptote des Funktionsgraphen.

, D_f = ℝ\{0},

, D_f2 = ℝ\{2}.

1.1 Asymptoten, Polstellen

Eine Funktion f der Form mit zwei Polynomen p(x) und q(x) heißt gebrochen rationale Funktion.

Ihre Definitionsmenge muss durch die Nullstellen des Nenners, die Definitionslücken, eingeschränkt werden.

, D_f = ℝ\{-2},

Betrachtet man die Grenzen der Definitionsmenge, so gilt:

• 
  Somit lautet die horizontale Asymptote y = 0,5
• ,
  Die vertikale Asymptote lautet x = -2 und verläuft durch eine Polstelle (1.Grades) der Funktion.

Wiederholung des Grenzwertbegriffs

Gibt es für eine Funktion f einen Wert a∈ℝ, dem sich alle Funktionswerte für große x beliebig nähern, so heißt a Grenzwert der Funktion f; man schreibt: .

1.2 Folgerungen zur Asymptote:

• Ist der Grad des Zählerpolynoms p kleiner als der Grad des Nennerpolynoms q, so ist die horizontale Asymptote die
  x -Achse y = 0.
• Ist der Grad des Zählerpolynoms p gleich dem Grad des Nennerpolynoms q, so ist die horizontale Asymptote die horizontale Gerade y = c (mit ).
• Ist der Grad des Zählerpolynoms p größer als der Grad des Nennerpolynoms q, so ist die Asymptote eine Funktion vom Grad der Differenz der Grade.

, D_g1 = ℝ\{+1}     horizontale Asymptote: y = 0 (x-Achse)
, D_g2 = ℝ\{+1}     horizontale Asymptote: y = 2
, D_g2 = ℝ\{+1}     Asymptote: y = 2x² + 2x + 2

Für die Gleichung einer schrägen Asymptote hilft nur eine Polynomdivision mit Rest:

1.3 Folgerungen zur Polstelle:

• Hat nur der Nenner bei x₀ eine Nullstelle, so hat der Graph dort eine Polstelle. Ihr Grad entspricht der Vielfachheit der Nennernullstelle.
• Haben Zähler und Nenner bei x₀ eine Nullstelle, so hat der Graph dort eine Polstelle, wenn die Vielfachheit im Nenner größer ist als im Zähler. Sein Grad entspricht der Differenz.
• Haben Zähler und Nenner bei x₀ eine Nullstelle, aber ist die Vielfachheit im Zähler größer oder gleich, so gibt es keine Polstelle und die Definitionslücke ist behebbar.
• Eine Polstelle ungeraden Grades hat einen Vorzeichenwechsel, eine Polstelle geraden Grades nicht.

, D_h1 = ℝ\{-1}               , D_h3 = ℝ\{+1}
, D_h2 = ℝ\{+1}          , D_h4 = ℝ\{-1}

Für eine behebbare Definitionslücke gilt:
und . So kann man verkürzt schreiben; aber es gilt trotzdem: ist nicht definiert !!